流形簡介，流形是什麼意思

流形的坐標圖、坐標圖或簡稱圖是流形子集和簡單空間之間的雙射，因此對映及其逆對映都保持所需的結構。 對於拓撲流形，簡單空間是一些歐幾里得空間 rn，我們對它的拓撲感興趣。 這種結構由同態維持，即在兩個方向上可逆的連續對映。

圖形對於計算非常重要，因為它們允許在簡單的空間內執行計算，然後將結果傳遞回流形。

例如，極坐標是 r2 的圖形，除了負 x 軸和原點。 上一節頂部提到的對映是乙個圓的圖形。 大多數流形需要多個圖（只有最簡單的流形只使用乙個圖）。

覆蓋流形的特定圖形的集合稱為圖集。 圖集不是唯一的，因為所有流形都可以被不同圖形的組合以多種方式覆蓋。

包含與給定地圖集一致的所有圖集的地圖集稱為超大地圖集。 與普通的地圖集不同，乙個非常大的地圖集是獨一無二的。 雖然它在定義中可能很有用，但這個物件非常抽象，通常不直接使用（例如，在計算中）。

圖集還可用於定義流形上的附加結構。 首先在每個關係圖上單獨定義結構。 如果所有變換對映都與此結構相容，則可以將該結構轉移到流形中。

這是定義差分歧管的標準方式。 如果圖集的變換對映保留了拓撲流形的 rn 自然微分結構（即，如果它們是微分同態），則微分結構將傳播到流形並成為微分流形。

通常，流形的結構取決於圖集，但有時不同的圖集給出相同的結構。 這樣的圖集稱為相容。

簡單地說，它是區域性有限空間中的同乙個胚胎

流形的解釋 （1）.據說萬物都受到大自然的滋養，會移動和改變它們的形狀。 倩倩：

烏雲密布，產品成型。 高恆指出：“流形是其形式的運動。

這兩句話說，天上有雲有雨，萬物受其滋養，可以在宇宙中移動身體。 《宋蘇軾的《對王溫的告白》：光彩雖彩，卻離不開散亂的流形。

青葉庭軒《吹網記：袁氏鳳龍山頌》：神心感、三靈合成、產品流形、農口嘉穀。 ” 2).

萬物運動的形狀和變化。 金國璞《江福》：桓的流形塊，混合在乙個主題中。

宋溫天祥《義之歌》：天地有義，雜雜多。清劉大珠《獻給張儒家的禮物》：

眼注，手，合情理，遍布流形，雖適合官僚的藥丸、車輪的倒、人民的擔子，但自以為不止於此。“形態學 詞 分解 流動的解釋 液體 移動：流動的水。

出汗。 流血。 流淚。

過程。 腹瀉。 液。

自來水不會腐爛。 像豬一樣汗流浹背。 隨波逐流（隨著波浪的起伏，隨著流水的漂流，隱喻沒有主見，隨波逐流）。

像水一樣流動：迴圈。 迴圈。

流寇。 流浪。 位移形式形狀 í 實體的解釋：

形狀儀（姿勢儀）。 形式。 外觀。

描述。 人體。 獨自。

密不可分。 外觀：異形帆故障。

形式。 形態學。 痕跡。

地形。 情況。 效能：

塑造所有筆和墨水的形狀。 身材喜悅。 對照、比較：

相形見絀。 條件，地形：情況。

流形的解釋 （1）.據說萬物都受到大自然的滋養，會移動和改變它們的形狀。 倩倩：

烏雲密布，產品成型。 高恆指出：“流形是其形式的運動。

這兩句話說，天上有雲有雨，萬物受其滋養，可以在宇宙中移動身體。 《宋蘇軾的《對王溫的告白》：光彩雖彩，卻離不開散亂的流形。

青葉庭軒《吹網記：袁氏鳳龍山頌》：神心感、三靈合成、產品流形、農口嘉穀。 ” 2).

萬物運動的形狀和變化。 金國璞《江福》：桓的流形塊，混合在乙個主題中。

宋溫天祥《義之歌》：天地有義，雜雜多。清劉大珠《獻給張儒家的禮物》：

眼注，手，合情理，遍布流形，雖適合官僚的藥丸、車輪的倒、人民的擔子，但自以為不止於此。“形態學 詞 分解 流動的解釋 液體 移動：流動的水。

出汗。 流血。 流淚。

過程。 腹瀉。 液。

自來水不會腐爛。 像豬一樣汗流浹背。 隨波逐流（隨著波浪的起伏，隨著流水的漂流，隱喻沒有主見，隨波逐流）。

像水一樣流動：迴圈。 迴圈。

流寇。 流浪。 位移形式形狀 í 實體的解釋：

形狀儀（姿勢儀）。 形式。 外觀。

描述。 人體。 獨自。

密不可分。 外觀：異形帆故障。

形式。 形態學。 痕跡。

地形。 情況。 效能：

塑造所有筆和墨水的形狀。 身材喜悅。 對照、比較：

相形見絀。 條件，地形：情況。

實體。 設 （x， or regalia） 為拓撲空間 x1

x 和 x2x 是任意兩個獨立的點，x1 分別存在

鄰域 n （x1

使用 n（x2，慢問候語滿足 n（x1

n（x2= ， 則 （x， ） 是豪斯多夫空間。 A 是 x 的子集，如果 a 是閉集，則 a 稱為實體。

歧管實體。 x， ） 是豪斯多夫空間，a 是 x 上的實體，如果 A 內任何一點的區域性拓撲維數為 n，則 A 稱為 n 維流形實體;相反，n 維流形實體內任何點的區域性拓撲維數為 n。 如果有一件襯衫，搖滾<>

如果區域性拓撲維數 d（x） 不確定，則稱 a 為非流形實體。 組 （a） 是乙個流形實體，組 （b） 是乙個非流形實體。

流形是具有區域性歐幾里得空間性質的空間，是歐幾里得空間中曲線和曲面概念的推廣。 歐幾里得空間是最簡單的流形的乙個例子。 像地球表面這樣的球體是乙個稍微複雜一些的例子。

典型的歧管可以通過彎曲和粘合許多直板來形成。 流形在數學中用於描述幾何形狀，它們為研究形狀的可微性提供了乙個自然的平台。 從物理上講，經典力學的相空間和構建廣義相對論時空模型的四維偽黎曼流形是流形的例子。

流形也可以在位空間中定義。 圓環是雙擺空間。 一般來說，幾何形狀的拓撲結構可以被認為是完全“軟”的，因為所有的變形（同態）都將保持拓撲結構; 解析幾何被認為是“困難的”，因為整體結構是固定的。

例如，在多項式中，如果你知道區間的值，則整個實數範圍的值是固定的，因此區域性變化將導致全域性變化。 光滑流形可以看作是介於兩者之間的模型：它的無窮小結構是“硬的”，而整體結構是“軟的”。

這或許就是中文翻譯“流形”這個名字的原因（整體形式可以流動）。 該譯本由著名數學家、數學教育家江介紹。 這樣，流形的硬度使其能夠適應微分結構，並且其柔軟性使其可用作許多需要獨立的區域性擾動的數學和物理模型。

最容易定義的流形是拓撲流形，它在區域性上看起來像一些“普通的”歐幾里得空間 rn。 從形式上講，拓撲流形是乙個拓撲空間，其中區域性同態位於歐幾里得空間中。 這意味著每個點都有乙個場，該場具有同態（連續雙射，其逆也是連續的），該場將其對映到 rn。

這些同構是流形的坐標圖。

通常，在這個拓撲空間中新增額外的技術假設，以排除病理病例。 可以根據需要要求空間是豪斯多夫的和第二個可數的。 這意味著下面描述的具有兩個原點的線不是拓撲流形，因為它不是豪斯多夫流形。

流形在點處的維數是該點對映到的歐幾里得空間圖的維數（定義中的數字 n）。 連線流形中的所有點都具有相同的尺寸。 一些作者要求拓撲流形的所有圖都對映到同乙個歐幾里得空間。

在這種情況下，拓撲空間具有拓撲不變數，即其維數。 其他作者允許拓撲流形不相交並具有不同的維度。 主條目：

差速歧管。 如果流形上區域性坐標圖之間的坐標變換是平滑的，則可以在流形上討論方向、切空間和可微函式。 特別是，“微積分”可以應用於微分流形。 在這一點上，我們說歧管被賦予了微分結構。

具有差分結構的流形稱為微分流形。 如果流形上任意兩個區域性坐標之間的坐標變換是“分段線性函式”，那麼我們說流形被賦予分段線性結構。 具有分段線性結構的拓撲流形稱為分段線性流形。

如果流形上存在微分結構，那麼微分結構自然會誘發分段線性結構。 所以微分流形必須是分段線性流形。

分段線性結構的存在比簡單分割槽的存在稍強; 分段線性流形的範疇是介於拓撲流形範疇和微分流形範疇之間的範疇。

如果我們認為幾何的拓撲是完全軟的，因為所有的變形（同態）都會保持拓撲不變，而解析簇是硬的，因為整體結構是固定的（例如一維多項式，如果你知道（0,1）區間的值，整個實數範圍的值是固定的， 而區域性擾動會引起全域性變化），那麼我們可以把乙個光滑流形想象成乙個介於兩者之間的物體，具有無窮小的結構是堅硬的，而整體結構是柔軟的。這或許就是流形（整體形式可以流動）的中文翻譯的原因，它是由著名數學家和數學教育家江澤漢引入的。 這樣，流形的硬度使其能夠適應微分結構，其柔軟性使其成為許多需要獨立的區域性擾動的數學和物理模型。

流形可以被認為是在不久的將來看起來像歐幾里得空間或其他相對簡單的空間的物體。 例如，人們曾經認為地球是平的，因為我們相對於地球來說很小，這是一種可以理解的錯覺。

因此，在足夠小的面積內的理想數學球體也類似於平面，這使它成為乙個流形。 但是球和平面的整體結構非常不同：如果你在乙個球體上沿著固定方向行走，你最終會回到起點，而在平面上，你可以一直走下去。

表面是三維的。 但是，流形可以具有任意尺寸。 其他示例包括直線的圓（一維）和三維空間中的所有旋轉（三維）。

由旋轉組成的空間示例表明，流形可以是乙個抽象空間。 流形技術使我們能夠獨立地思考這些物件，從某種意義上說，我們可以擁有乙個不依賴於任何其他空間的球體。

本地簡單性是乙個強烈的要求。 例如，我們不能把一條線掛在球上，然後把整體稱為流形; 包含線粘在球上的點的區域並不簡單——既不是線也不是曲面——無論面積有多小。

我們用地圖集收集的平面地圖在地球上航行。 同樣，我們可以在數學圖集中使用數學地圖（稱為坐標圖）來描述流形。 由於流形與用於構建流形的簡單空間之間的整體結構差異，通常不可能在一張圖中描述整個流形。

當使用多個圖來覆蓋流形時，我們必須注意它們重疊的區域，因為這些重疊包含有關整體結構的資訊。

有許多不同種類的歧管。 最簡單的是拓撲流形，它們在區域性上看起來像歐幾里得空間。 其他變體包含使用所需的其他結構。

例如，微分流形不僅支援拓撲結構，還支援微積分。 黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，它使人們能夠用曲率來描述時空。