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匿名使用者2024-02-05數學歸納證明 （1-h） n 1 （1+hn） 對 0 h 1 範圍內的任何自然數 n 成立。
證明： n=1， 1-h） n=1-h
1/(1+hn)=1/(1+h)
通過 0 小時 1
1-h 1 （1+h），1-h 1，顯然是正確的。
假設 n=k，（1-h） k 1 （1+hk） 成立。
則 n=k+1。
1-h)^(k+1)=(1-h)^k(1-h)≤(1-h)/(1+hk)
如果 （1-h） （1+hk） 1 [1+h（k+1）] 1） 則 （1-h）[1+h（k+1）] 1+hk1+h+hk -h-h -kh 1+hkh +kh 0
通過 0 小時 1
由於 h 0，k > 0，上述等式成立，即假設 （1） 成立。
根據歸納法，（1-h） n 1 （1+hn） 適用於 0 h 1 範圍內的任何 n。
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匿名使用者2024-02-04當 n=1 時，這顯然是正確的，當 n=k 時仍然是正確的，即 （1-h） k<=1-kh
當n=k+1時，證明（1-h）（1-h）k<=（1-h）（1-kh）<（1-（k+1）h）。
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匿名使用者2024-02-03n=2 ((n+1)/2)^n= [2+1)/2]^2= n!=2*1=2 所以（（n+1） 2） n> n！建立。
n>2 假設 n=k 保持原始公式，即 （（k+1） 2） k> k！即 （K+1） K 2 K>K！(1)
則 n=k+1， （（k+1+1） 2） （k+1）=（k+2） （k+1） （2*2 k）。2)
原因（k+2） （k+1）>2（k+1） （k+1）.3)
3） 代入 （2） （k+1+1） 2） （k+1）=（k+2） （k+1） （2*2 k）>2（k+1） （k+1） （2*2 k）=（k+1） （k+1） 2 k=（k+1）*（k+1） k 2 k(4)
將 （1） 代入 （4） 得到 （（k+1+1） 2） （k+1）>（k+1）*k！=(k+1)!即 n=k+1（（n+1） 2） n > n！建立。
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匿名使用者2024-02-02當 n=1 時，情況確實如此。
當 n=n 時，這是正確的。
則當 n=n+1 時。
1＋2＋3＋…＋n+n+1
1/2）n*（n＋1）+n+1
1/2）(n+2)*（n＋1）
成立，就這樣成立。
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匿名使用者2024-02-01解題思路：直接用數學歸納法證明問題的步驟，證明不等式可以證明：（1）當n=2時，[1 2+1+
[24]該命題成立
2） 假設當 n=k 時，[1 k+1+
k+2+k+3+…+
2k 24]成立。
當 n=k+1 時，[1 k+2+
k+3+…+
2k+2k+1+
2k+2]=[1/k+1]+[1/k+2+k+3+…+
2k+2k+1+
2k+2]−
k+1＞2k+1+
2k+2−k+1，∵[1/2k+1+
2k+2−k+1＝
2(2k+1)(k+1)＞0，∴
k+1)+1+
k+1)+2+
k+1)+3+…+
2(k+1)＞
24]，當 n=k+1 時，命題成立
所以對於任何 n 2，n n* 成立 ， 10，
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匿名使用者2024-01-31證明 1：當 n=1 時，左邊 = 1*1！=1，右=（1+1）！-1=2-1=1
即左 = 右。
2. n=k（k 1） 是結論的假設是正確的。
即 1 1！+2•2!+.k•k!=(k+1)!-1 則當 n=k+1 時，1 1！+2•2!+.k•k!+（k+1）（k+1）!
k+1)!-1+（k+1）（k+1）!
k+1)!+k+1）（k+1）!-1
1+（k+1）]（k+1）!-1
k+2）（k+1）!-1
k+2）!-1
k+1+1）!-1
也就是說，n=k+1的結論是正確的。
因此，綜上所述，原來的命題是有效的。
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匿名使用者2024-01-30當 n=1 時，1*（1+1）（2*1+1） 6=1 成立。
當 n=2 時，2*（2+1）（2*2+1） 6=5 成立。
假設 n=k， 1 + 2 + 3 + ...n = n（n+1）（2n+1） 6 為真，但當 n = k+1， 1 +2 +3 +....k²+(k+1)²=(1²+2²+3²+…k²)+k+1)²=k（k+1）（2k+1）/6+(k+1)²=(k+1)(k(2k+1)/6+(k+1))=(k+1)((2k²+k+6k+6)/6)=(k+1)(2k²+k+6k+6)/6
k+1)(2k²+7k+6)/6
k+1)((k+2)(2k+3))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
k+1）（（k+1）+1）（2（k+1）+1） 6.
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匿名使用者2024-01-29證明 1' 當 n=1， left = （2*1-1） =1， right = 1 3*1*（4*1 -1）， left = right， 該命題為真。
2' 假設當 n=k 時命題成立。
即 1 + 3 + 5 +2k-1） = 1 3k （4k-1） 成立。
那麼當 n=k+1 時，left=1 +3 +5+2k-1)²+2(k+1)-1]²=1/3k(4k²-1)+(2k+1)²
1/3k+4k²+4k+1
4/3k3+4k²+11/3k+1
右 = 1 3 （k + 1） [4 （k + 1） -1] = （1 3k + 1 3） （ 4k +8k + 3） = 4 3k 3 + 8 3k + 8 3k + 1
4/3k3+4k²+11/3k+1
左 = 右，命題為真。
來自'的命題是任何 n 都屬於 n*。