問，乙個真正的對稱矩陣可以對角化嗎？ 正交矩陣和對稱矩陣

如果你能證明以下命題，你的問題將立即得到解決。

設 a 是 n 階實對稱矩陣，那麼我們可以找到 n 階正交矩陣 t，使得（t 的倒數）at 是對角矩陣。

證明：當 n=1 時，結論顯然是正確的。 現在證明，如果 n-1 階的實對稱矩陣為真，那麼 n 階的實對稱矩陣也為真。

設 a 的特徵值（n 階矩陣必須有 n 個特徵值（計數重複）），並設為 a 的特徵向量（是列向量）。 （轉置）*a） 轉置=a=。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，只要 的每個元素除以 ，其中 = 的平方 = （轉置的）* 的平方使單位向量 （所謂的單位向量是 （轉置的）* = 1 的轉置）。

顯然，所有單位都有無限數量的單位向量，很明顯，可以找到足夠多的列單位向量，使它們和 的內積為 0，它們的內積等於 0，因為正交矩陣的充分條件是列（行）向量是正交的並且是單位向量， 並且因為對於相反的矩陣，如果 ab=e，則 ba=e，可以認為可以為第一列手動編寫正交矩陣 q，（所謂的正交矩陣是（q）*q=q*（q）=e）。從 （ of transpose） * a = a = （q 的轉置） 的轉置 a 的第一行是 （的轉置，所以 q 的轉置）aq 第一行的第一列是 （ of transpose） = ，也可以啟動（q 的轉置）aq 的第一列是 0，除了第一行（至於為什麼這樣打字真的很不方便， 讀者可以自己計算，並提醒他 Let t be t 是元，tij*t+t.。*t..

t..*t..+t..

t..如果每個專案的角不完全相同，則這些角加起來為 0）。因為q是正交矩陣，所以（（q的逆矩陣）aq）=（q的逆矩陣）的轉置（a的轉置）（q的反矩陣的轉置）=（q的反矩陣）aq，所以（q的反矩陣）aq也是對稱矩陣，所以第一行除第一列外為0，第一行第一列剩下的一大塊矩陣仍然是對稱矩陣， 所以最後，這個過程可以重複成乙個對角線矩陣。

認證。 但是，正交矩陣必須是可逆矩陣，對於方陣來說，逆等價於全秩矩陣，並且將乙個正方形矩陣乘以乙個全秩平方後，秩不會改變，這證明你的實對稱矩陣一定是相似的對角線。

第乙個問題。 絕對。 但反過來。

可以對角化的矩陣。

不一定。 正交矩陣。

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1. 實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。

2.實對稱矩陣a的特徵值均為實平衡數，特徵向量均為實向量。

3.n階實對稱矩陣a必須是相似的對角線，相似對角線族模量上的元素是矩陣本身的特徵值。

4. 如果 a 的 k 權特徵值為 0，則必須有 k 個線性獨立的特徵向量，或者秩 r（0e-a） 必須為 n-k，其中 e 是單位矩陣。

5. 實對稱矩陣 a 必須正交相似對角線。

Hermite 矩陣可以酉對角化的結論 如果 a 是 Hermite 矩陣，則取乙個單位特徵向量 x 並將其拉伸為酉矩陣 q=[x，*]。

然後 Q Haq 有乙個分塊結構。

00 B 對 B 使用歸納假設。

實對稱矩陣的特徵值都是實數，因此n階矩陣在實數域中有n個特徵值，並且實對稱矩陣每個特徵值的重脫落研磨數與屬於它的無關特徵向量數相同。

在性代數中，對稱矩陣是乙個方拍輪矩陣，其中轉置矩陣等於自身。 1855年，埃公尺特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，例如稱為埃公尺特矩陣的特徵性質。

後來，Klebosch（1831-1872）、Buckheim等人證明了對稱矩陣的特徵根性質。 Taber（介紹了矩陣跡線的概念，並給出了一些結論。

矩陣是高等代數中的常用工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。 在物理學中，矩陣在電路、力學、光學和量子物理學中都有應用; 在電腦科學中，3D 動畫也需要使用矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的乙個重要問題。

將矩陣分解為簡單矩陣可以簡化矩陣在理論和實際應用中的操作。 對於一些應用廣泛、形式特殊的矩陣，如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。

實對稱矩陣的特徵值都是實數，因此n階矩陣在實數域中有n個特徵值（包括乘法），並且實對稱矩陣的每個特徵值的重複與屬於它的不相關特徵向量的個數相同，因此n階矩陣有n個不相關的特徵向量， 所以它可以對角化。

判斷方陣是否可以類似於對角化的條件：

1）充分和必要條件：an類似於對角化的充分和必要條件是：an有n個線性獨立特徵向量;

2）充分必要條件的另一種形式：an類似於對角化的充分和必要條件是：an的k權特徵值滿足n-r（e-a）=k;

3）充分條件：如果an的n個特徵值成對不同，則an必須類似對角化;

4）充分條件：如果 an 是實對稱矩陣，則 an 必須類似對角化。