尤拉公式的推導，尤拉公式的推導，尤拉公式的推導，以及尤拉公式的簡要說明

尤拉公式是通過拓撲方法證明的。

試試尤拉公式：對於任何多面體（即三維，所有邊都是平坦的多邊形，沒有孔），false。

設 f、e 和 v 分別表示面數、邊（或邊）和角（或頂部）的數量。

f-e+v=2。嘗試使用拓撲方法證明多面體的面數、邊數和頂點數的尤拉公式。

1）把多面體（如圖中）想象成乙個空心的立方體，表面有乙個薄橡皮擦。

2）去掉多面體的一面，可以在平面上完全開啟，在平面上得到一條直線，如圖所示。假設 f、e 和 v 分別表示這個平面圖的（簡單）多邊形、邊和頂點的數量，我們只需要證明 f -e +v = 1。

3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，即對於還不是三角形的多邊形，對角線乙個接乙個地引入，直到它們變成一些三角形，如圖所示。每次引入對角線時，f 和 e 都會增加 1，而 v 不會改變，因此 f -e +v 不會改變。 因此，當完全拆分為三角形時，f-e +v 的值保持不變。

一些三角形在平面形狀的邊界上有一條或兩條邊。

4）如果乙個三角形的邊界上有一條邊，例如圖中的abc，則刪除三角形中不屬於另乙個三角形的邊，即ac，這樣abc也被刪除。所以 f 和 e 各自減去 1 並且 v 不會改變，所以 f -e +v 也不會改變。

5）如果乙個三角形的邊界上有兩條邊，例如圖中的def，則刪除該三角形中不屬於其他三角形的邊，即df和ef，以刪除def。 所以 f 減 1，e 減 2，v 減 1，所以 f -e +v 保持不變。

6） 繼續這樣做，直到只剩下乙個三角形，如圖所示。此時 f = 1， e = 3， v = 3，所以 f -e +v = 1-3 + 3 = 1。

7）因為原來的圖形是相連的，中間引入的各種變化並沒有破壞這個事實，所以最終圖形還是相連的，所以最後不會像圖中那樣是向外散落的幾個三角形。

8） 如果它最終如圖所示，我們可以刪除其中乙個三角形，即刪除 1 個三角形、3 條邊和 2 個頂點。所以 f-e+v 保持不變。

即 f -e +v = 1

尤拉公式：

f-e+v=2。

有 4 個尤拉公式。

1）分數：a r （a-b） （a-c） + b r （b-c） （b-a） + c r （c-a） （c-b）。

當 are=0,1 時，公式的值為 0

當 are=2 時，值為 1

當 ARE=3 時，值為 A+B+C

2）複數。從 e i = cos +isin ，我們得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

3）三角形。

設 r 為三角形外接圓的半徑，r 為內切圓的半徑，d 為外心到內圓的距離，則：

d＾2=r＾2-2rr

4）多面體。

設 v 是頂點數，e 是邊數，面數。

v-e+f=2-2p

p 是尤拉的指示數，例如

p=0 的多面體稱為零類多面體。

p=1 的多面體稱為 1 型多面體。

尤拉公式推導如下。

1.尤拉公式為e ix=cosx+isinx，e為自然對數的底數，i為虛數單位。 它把三角函式的定義域擴充套件到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，在復變數函式理論中占有非常重要的地位。

2. e ix=cosx+isinx 的證明：因為 e x=1+x 1！ +x^2/2！

x^3/3!+x^4/4!+…cosx=1-x^2/2!

x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!

x^5/5!-x^7/7!……在公式 e x 中，將 x 替換為 ix

i)^2=-1,(±i)^3=??i,(±i)^4=1……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??

x^3/3!+x^4/4!……1-x^2/2!

i(x-x^3/3!……所以 e ix=cosx isinx 將公式中的 x 替換為 -x 得到： e -ix=cosx-isinx，然後用兩個公式的加減法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也被稱為尤拉公式。 將 e ix=cosx+isinx 中的 x 作為，得到：

e^iπ+1=0。

一方面，在原始圖中，通過使用每個面找到內角的總和。

有f個面，每邊的邊數為n1、n2、,...，nf，每個面的內角之和為：=[（n1-2）·180+（n2-2）·180+....+nf-2)

n1+n2+…+nf2f)

2e2f)e-f)

1）另一方面，使用頂點求拉開圖中內角的總和。

如果切割面是n邊，其內角之和為（n-2）·180，則在所有v個頂點中，n個頂點在邊上，v-n個頂點在中間。 中間 v-n 頂點處的內角之和為 （v-n）·360，邊上 n 個頂點處的內角之和為 （n-2）·180。

因此，多面體面的內角之和：=

v-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180=（v-2）·360.

2） 從 （1） （2）： e-f）。

V-2）·360 所以 V

f–e=2.

有 4 個尤拉公式 （1） 分數：a r （a-b） （a-c） + b r （b-c） （b-a） + c r （c-a） （c-b） 當 are = 0 時，1 當公式值為 0 時為 1 當 are = 2 時 are = 2 當值為 a + b + c 時 （2） 複數為 e i = cos +isin ，得到：sin = （e i -e -i ） 2i cos = （e...）。