只有 5 個正多面體嗎？ 為什麼只有 5 種型別的正多面體？

正多面體只有五種型別：四面體、八面體、六面體、十二面體和二十面體。

至於 5 個正多面體的存在，那是很久以前就知道的（在古希臘的柏拉圖時代）。 製作模型的圖形和方法可以在 Steinhaus 的《數學萬花筒》中找到。 ①

證明 對於正多面體，假設它的所有邊都是正 n 邊，並且 r 邊在每個頂點角相交。 所以有：

nf=2e (1)

rv=2e (2)

1） 的右係數為 2，因為每條邊都出現在 2 條邊上，而 （2） 的右係數 2 是因為每條邊都穿過 2 個頂點角。將 （1） 和 （2） 代入尤拉方程中，得到：或。

顯然是 n 3，r 3，因為多邊形至少有三條邊，並且在每個頂點角也有至少三條邊。 但是 n 3 和 r 3 是不可能的，因為這樣就會有 ，但 e 0。 所以 r 和 n 中至少有乙個等於 3。

設 n=3，則 ，所以 r=3,4,5，所以 e=6,12,30，f=4,8,20，這給出了四面體、八面體和二十面體。

設 r=3，則 ，所以 n=3,4,5，因此 e=6,12,30，f=4,6,12，這給出了四面體、六面體（即立方體）和十二面體。

是的，只有五種型別：四面體、六面體、八面體、十二面體和二十面體。

具體證據可以在這裡找到：

四面體只有五種，六面體，八面體，十二面體，二十面體 老師也是這麼說的。

只有五種型別的多面體，即四面體、六面體、八面體、十二面體和二十面體。

所謂正多面體，當然是保證它首先是多面體，它的特點是它的每乙個面都是乙個正多邊形，每個面的正多邊形都是全等的。

也就是說，切掉正多面體的面，它們可以完全重合。 雖然多面體家族非常大，但多面體的成員非常小，只有五個。

設多面體在每個頂點有 m 條邊，每個面都是乙個規則的 n 邊形狀，多面體的頂點數為 v，面數為 f，邊數為 e。 由於兩個相鄰面具有共同的邊，因此它們<>

由於兩個相鄰的頂點具有共同的邊，因此它們<>

並且由於多面體的尤拉定理，得到了v+f-e=2，這可以從以上三個方程中得到。

要使上述等式成立，必須滿足 2m+2n-mn>0，即 1 m+1 n>1 2。 因為 m 3，所以。

所以 n<6。

當 n=3 時，m<6，所以 m 可以取的值為 ;

當 n=4 時，m < 4，所以 m 可以取的值為 3;

當 n=5 時，m < 10 3，因此 m 可以取的值為 3。

當n=3時，m=3，v=4，f=4，e=6;當n=3時，m=4，v=6，f=8，e=12;當 n=3， m=5， v=12， f=20， e=30 時;當 n=4， m=3， v=8， f=6， e=12;當 n=5， m=3， v=20， f=12， e=30;所以只有五種型別的正多面體。

經典多面體。

在古典意義上，多面體（來自希臘語poly-的英語單詞）是詞根代表"和更多"， Edron， 來自 δ 代表"酶作用物"，"塊"或"面臨"） 是由有限數量的多邊形面組成的三維實體，每個面都是平面的一部分，其中面在邊上相交，每條邊都是直線段。

邊在點處相交，這些點稱為頂點。 立方體、金字塔和稜柱都是多面體的例子。 多面體包圍了三維空間的有界體積; 有時，內部身體也被認為是多面體的一部分。

多面體是多邊形的三維對應物。 多邊形、多面體和高維對應物的總稱是多色體。

正多面體 所謂正多面體，是指多面體的所有邊都是全等的正多邊形，每個多面體角都是乙個全等的多面體角。 例如，乙個正四面體（即正金字塔）的四個面是全等三角形，每個頂點有乙個三面角，總共有三個三面角，它們可以完全重合，即它們是全等的。

正多面體的種類數量非常少。 多面體可以有無限多，但正多面體只有五種型別：四面體、六面體、八面體、十二面體和二十面體。

證明。 頂點數 v、面數 f 和邊數 e

設正多面體的每個面都是正 n 邊，每個頂點處都有 m 條邊。 邊數 e 應為面數 f 和 n 的乘積（每兩條邊一條邊）的一半，即

nf=2e --

同時，e 應該是頂點數 v 和 m 乘積的一半，即

mv=2e --

獲得者 ，廢黜。

f=2e n，v=2e m，代入尤拉公式 v+f-e=2，有。

2e/m+2e/n-e=2

完成後，1 m+1 n=1 2+1 e

由於 e 是正整數，因此 1 e > 0。 因此。

1/m+1/n>1/2 --

這意味著 m，n 不能同時大於 3，否則不會為真。 另一方面，由於 m 和 n 的含義（正多面體頂點處的邊數和多邊形的邊數），m 3 和 n 3。 因此，m 和 n 至少有乙個等於 3

當 m=3 時，因為 1 n>1 2-1 3=1 6，n 是正整數，所以 n 只能是 3,4,5

同理，n = 3，m 只能是 3， 4， 5

所以有幾種情況：

n m 型。

3 3 四面體。

4 3 正六面體。

3 4 正八面體。

5 3十二面體。

3 5 正二十面體。

既然以上五種型別的多面體確實可以幾何地製成，那麼就不可能有其他種類的正多面體了。

所以只有 5 種型別的正多面體。

1.證明正多面體的每個面都是正n條邊行，每個頂點是m條邊，所以邊數e應該是f（面數）和n的乘積的一半，即nf=2e（1個公式）。 同時，e 應該是 v（頂點數）和 m 的乘積的一半，即 mv = 2e（公式 2）。

由式1和式2，f=2e n，v=2e m，代入尤拉公式v+f-e=2，得到2e m+2e n-e=2，得到1 m+1 n=1 2+1 e。

2. 由於 e 是正整數，因此 1 e > 0。 因此，1 m+1 n>1 2（3 公式），3 公式表示 m、n 不能同時大於 3，否則 3 公式無效。 另一方面，由於 m 和 n 的含義（正多面體頂點處的邊數和多邊形的邊數），m >=3 和 n>=3。

因此，m 和 n 至少有乙個等於 3

3.當m=3時，因為1 n>1 2-1 3=1 6，n是正整數，所以n只能是3,4,5。

4.同理，n=3，m只能是3、4、5，所以nm型，33個正四面體，43個正六面體，34個正八面體，53個正十二面體，35個正二十面體，因為以上5種多面體確實可以用幾何方法製作出來，不可能有其他種類的正多面體， 所以只有 5 種正多面體。