函式的週期性和對稱性，以及關於函式的對稱性和週期性的幾個重要結論

函式 y=f（x+4） 是乙個奇數函式。

y=f（x+4） 影象相對於原點的對稱性。

將 y=f（x） 影象向左平移 4 個單位。

得到y=f（x+4）的影象。

將 y=f（x+4） 影象向右平移 4 個單位。

得到y=f（x）影象。

y=f（x） 的影象大約是 o'（4,0） 對稱性。

f（x） 在區間 [4，+ 解析為 f（x）=4 x-x+3 取 x<4，則取 8-x>4

f（8-x）=4 （8-x）-（8-x）+3=4 （8-x）+x-5y=f（x） 的影象約為 o'（4,0） 對稱性。

f（x）=-f（8-x）=4 （x-8）-x+5f（x） 在 r 上解析。

4/x-x+3 , x≥4)

f(x)={4/(x-8)-x+5 ,(x<4)

由於函式 y=f（x+4） 是奇數，因此 f（x） 相對於點 （4,0） 是對稱的。 設點 （x，y） 在 f（x） 的影象上，並且由於點 （4,0） 的對稱性，然後將 （8-x，-y） 代入函式 f（x），得到 y=4 （x-8）-x+5。

所以 f（x）=4 （x-8）-x+5（x<4）， f（x）=4 x-x+3（x>=4）。

因為 f（x+4） 是乙個奇數函式，所以。

f(-x+4)=-f(x+4)

所以這個函式是關於點 （4,0） 點對稱性的。

當 x<4、-x>-4、8-x>4

f(8-x)=4/(8-x)-(8-x)+3=4/(8-x)+(x-5)

因為 f（x） 對稱於 （4,0） 個點。

f(x)= - f(-x+8)=-4/(8-x)-x+5f(x)={ -4/(8-x)-x+5 (x<4)4/x-x+3 (x≥4)

高三數學]功能對稱性和週期性。

函式的週期性和對稱性的口頭禪是對稱差的週期。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）-（x+b）=a-b，週期x2。 週期性，t=2|a-b|。

如果 f（x+a）=-f（x+b），則還有乙個減號。 （x+a）+（x+b）=a+b，軸變為中心。 對稱性，對稱中心（（a+b） 2,0）。

性質： 1.如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱軸 x=a 和 x=b，則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

2. 如果函式 f（x）（x d） 在定義的域中有兩個對稱中心 a（a，0） 和 b（b，0），則函式 f（x） 是乙個週期函式，週期 t=2|b-a|（不一定是最短的正週期）。

3.如果函式f（x）（x d）在定義的域中具有對稱軸x=a和對稱中心b（b，0）（a≠b），則函式f（x）是週期函式，週期t=4|b-a|（不一定是最短的正週期）。

功能對稱性結論：y=f（|x|） 是乙個偶數函式。

它相對於 y 軸是對稱的。

y=|f（x）|它是將 x 軸下方的影象對稱到 x 軸的頂部，但無法確定它是否對稱。 例如，y=|lnx|沒有對稱性，y=|sinx|但是有對稱性。

1、f（x＋a）＝－f（x）

那麼 f（x 2a） f （x a） 是寬而純的 a f（x a） f（x） f（x）。

所以 f（x） 是乙個週期為 2a 的週期函式。

2. 差值 f（x a） 1 f（x）。

然後 f（x 2） f（x ） a） 1 f（x a） 1 （1 f（x）） 小心 f（x）。

所以 f（x） 是乙個週期為 2a 的週期函式。

1：對稱性：函式：f（a+x）=f（b-x）成立，f（x）相對於直線x=（a+b）2是對稱的。

f（a+x）+f（b-x）=c，f（x）相對於點（（a+b）2，c 2）是對稱的。

兩個函式：y=f（a+x） 和 y=f（b-x） 相對於直線 x=（b-a） 2 是對稱的。

證明：取函式上的乙個點 （m，n） 來證明經過對稱變換的點仍在函式上。

例如，中心對稱公式證明點（m，n）取函式，對稱點為（a+b-m，c-n）。

f（a+（b-m））+f（b-（b-m）=c 則 f（a+（b-m））+n=c，也就是說 f（a+（b-m））=c-n 也是乙個函式。

2.週期性：f（x+a） = f（x） 週期 2a

f（x+a） = 或 1 f（x） 週期 2a

證明：設週期為 na，f（x+na）=。f(x)

3.週期性和對稱性同時出現，找到週期（定義為r上的函式），然後可以通過繪圖得到直觀的答案。

對於 x=a，x=b 對稱週期 2 （a-b）。

關於 （a，0） 和 x=b 的對稱性 每週顛簸期 4 （a-b）。

如圖所示，週期 4（a-b） 的 （a，0） 和 x=b 對稱性：f（x） = f（2a-x）。

f(x)=f(2b-x)

f(2a-x) =f(2b-x)

f(2a+x) =f(2b+x)

f(x+4(a-b))=f(x+2a-2b)=f(x)

示例：y=f（x） 滿足 f（x+1）=f（1-x） 和 f（x+3）=f（3-x），週期為 4

證明 f（x+1）=f（1-x）=f（3+（-2-x））=f（3-（-2-x））=f（x+5）.

1）如果乙個功能的影象有兩對手指，那麼笑叢功能就是乙個週期性功能。

2）如果函式的影象具有兩個對稱軸。

那麼這個函式就是乙個週期函式。

3）如果函式的影象具有對稱點和對稱軸，則該函式是週期函式。

1.對稱性 f（x+a）=f（b x） 請記住，這個方程是對稱的一般形式。 只要 x 有正數和負數。 有對稱性。 至於對稱軸，你可以通過吃公式找到 x=a+b 2

例如，f（x+3）=f（5 x）。

x=3+5、2=4 等。 這個公式對於那些不知道方程式但知道兩個方程式之間關係的人來說很常見。 你可以應用它，但我不會在這裡給你乙個例子。

對於需要對稱軸的已知方程，首先，您必須記住一些常見的對稱軸對稱方程。 例如，原始二次方程 f（x） = ax2 + bx + c 對稱軸 x b 2a

原函式和反函式的對稱軸是 y x

而對於某些函式，如果不加以限制，很難說它們的對稱軸不僅是 x 90，而且是 2n，比如三角函式，它的對稱軸不僅是 x 90，而且是 2n！ 90度等等，因為他的定義是r

f（x） x 和他的對稱軸是 x 0，還應該注意的是，通過簡單函式平移後需要的一些對稱軸可以反轉為原文等，然後可以新增平移的次數

如果 f（x 3） x 3 使 t x 3，則 f（t） t 表示原始方程被初等函式向右移動了 3 個單位，同樣，對稱軸也向右移動了 3 個單位 x 3（請記住，平移是以左加右減法的形式進行的， 正如本問題中的 x 3 所示，按方向移動）。

2. 至於週期性，我們先從一般形式 f（x） f（x t） 開始。

注意，這個公式中的x是同乙個符號，不像對稱方程那樣是正負的，這個差異也是確定對稱性還是週期性的關鍵

還要記住一些常見的週期函式，如三角函式、什麼正弦函式、余弦函式、切函式等，當然它們的最小週期是 2 ， 2 ，當然。

它們的週期不止於此，只要它是其最小週期的正倍數，它就可以是問題的週期，例如 f（x） sinx t 2 （t 2 w）。

但如果是f（x）sinx，它的週期是t，因為把絕對值加起來後，y軸下面的圖都翻到了上面，從圖中不難看出最小對稱周t

y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2

y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2

以上 2 個方程 t （t 2 w）。

而對於兩個週期函式方程的加減復合方程，如果它們的週期相同，那麼它的週期仍然是相同的週期，例如 y=sin2x+cos2x，因為它們有乙個共同的週期 t，所以它的週期是 t

對於不相同的期間，則其週期是其各自週期的最小常見倍數，例如。

y=sin3 x+cos2 x t1 2 3 t2 1 然後 t 2 3