橢圓標準方程的解 橢圓的幾何意義 20

摘要：有兩種情況：

當焦點在 x 軸上時，橢圓的標準方程為：x 2 a 2+y 2 b 2=1，（a>b>0）;

當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程為：y2 a 2+x 2 b 2=1，（a>b>0）;

其中 a2-c2=b2（這是鍵）。

1.橢圓焦點。

當焦點在 x 軸上時，焦點坐標為 f1（-c，0）、f2（c，0）。

當焦點位於 y 軸上時，焦坐標為 f1（0，-c） 和 f2（0，c）。

2.橢圓的幾何性質。

x，y。

當焦點位於 x 軸上時，-a x a、-b y b

當焦點位於 y 軸上時，-b x b、-a y a

c^2=a^2-b^2

3.對稱性。

無論焦點是在 x 軸上還是在 y 軸上，橢圓始終相對於 x-y 原點是對稱的。

4.頂點：

當焦點在 x 軸上時：長軸的頂點：（-a，0），（a，0）。

短軸頂點：（0，b）、（0，-b）。

當焦點在 y 軸上時：長軸的頂點：（0，-a），（0，a）。

短軸頂點：（b，0），（b，0）。

注意長軸和短軸代表哪個軸，這裡容易引起混淆，需要結合數字和形狀才能逐漸透徹理解。

5.方程推導。

如果平面中從乙個移動點到兩個固定點的距離之和等於固定長度，則該移動點的軌跡稱為橢圓。

假設（注意，所有假設都只是為了推導橢圓方程）移動點是，兩個不動點是和，那麼根據定義，移動點的軌跡方程滿足（定義）：

其中有固定長度。

使用兩點之間距離的公式，我們可以得到 ：，，將其代入定義中，我們得到：

屆時，並列可以進一步簡化：

因為，將等式的兩邊相除，你會得到：

那麼方程就是移動點的軌跡方程，即橢圓的方程。 這種形式也是橢圓的標準方程。

如果橢圓的影象以笛卡爾坐標系表示，則上述定義中的兩個不動點在 x 軸上定義。 如果將兩個不動點更改為 y 軸，則可以用相同的方式找到另乙個橢圓的標準方程：

在方程中，集合稱為長軸長度，短軸長度，不動點稱為焦點，則稱為焦距。 在假設的過程中，它是假設的，如果你不假設這個，你會發現你無法得到乙個橢圓。 當時，這個移動點的軌跡是一條線段; 當時，根本沒有實際的軌跡，此時它的軌跡被稱為假想橢圓。

另請注意，在假設中，還有乙個地方：

6.一般認為圓是橢圓的特例。 （參加考試時必須注意權衡取捨）。

橢圓的標準方程如下：

當焦點在 x 軸上時，橢圓的標準方程為：x 2 a 2+y 2 b 2=1，（a>b>0）;

當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程為：y2 a 2+x 2 b 2=1，（a>b>0）;

其中 a2-c 2=b 2.

推導：PF1+PF2>F1F2（p 是橢圓上的點，f 是焦點）。

極坐標方程

乙個焦點位於極坐標系的原點，另乙個焦點位於 0=0） r=a（1-e2） （1-ecose） 的正方向（e 是橢圓的偏心率 = c a）。

一般方程式

ax2+by2+cx+dy+e=0（a>0、b>0 和 asubb）。

引數方程

x=acose，y=bsine。

橢圓的常見問題和解決方案

例如，如果有乙個圓柱體被切成橫截面，下面證明它是乙個橢圓（上面的第乙個定義）：如果從圓柱體的兩端擠壓兩個半徑與圓柱體半徑相同的半球到中間，當它們接觸到橫截面時，它們就會停止， 然後你會得到兩個共同點，它們顯然是橫截面和球體的切點。

設橫截面上任意點 p 的兩點為 f1 和 f2，通過 p 使圓柱體的母線 q1 和 q2，與球體和圓柱體相切的大圓分別相交 q1 和 q2 pf1 和 q2，因此 pf1 + pf2 = q1q2 由定義 1 已知： 截面為橢圓，以F1和F2為焦點，圓錐體的斜截面（不穿過底面）也可以用同樣的方法證明為橢圓。

帶有標準方程的橢圓的定義如下：

當焦點位於 x 軸上時，橢圓的標準方程為：x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1， （a>b>0）。

當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程為：y2 a 2+x 2 b 2=1，（a>b>0）;

其中 a2-c 2=b 2.

推導：PF1+PF2>F1F2（p 是橢圓上的點，f 是焦點）。

極坐標方程

乙個焦點位於極坐標系的原點，另乙個焦點位於 0=0） r=a（1-e2） （1-ecose） 的正方向（e 是橢圓的偏心率 = c a）。

一般方程式ax2+by2+cx+dy+e=0（a>0、b>0 和 asubb）。

引數方程x=acose，y=bsine。

橢圓的常見問題和解決方案

例如，如果有乙個圓柱體被切斷以獲得橫截面，則在下面證明它是乙個橢圓（使用上面的第乙個定義）：如果將半徑等於圓柱體半徑的兩個半球從圓柱體的兩端擠壓到中間，當它們接觸到橫截面時，它們就會停止， 然後你會得到兩個共同點，它們顯然是引線橫截面和球之間的切點。

設兩點分別為 f1 和 f2 對於橫截面上的任何點 p，圓柱體的母線 q1 和 q2 穿過 p，與球和圓柱體相切的大圓分別相交 q1 和 q2 pf1 = pq1 和 pf2 = pq2，所以 pf1 + pf2 = q1q2 由定義 1 已知： 斷面判斷為橢圓，以F1和F2為焦點，圓錐體的斜截面（不穿過底面）也可以用同樣的方法證明為橢圓。

橢圓是從平面到不動點 f1 和 f2 的距離之和，等於常數（大於 |f1f2|移動點 p、f1 和 f2 的軌跡稱為橢圓的兩個焦點。 數學表示式為：|pf1|+|pf2|=2a（2a>|f1f2|）。

橢圓的標準方程分為兩種情況：

當焦點在 x 軸上時，橢圓的標準方程為：x 2 a 2+y 2 b 2=1，（a>b>0）;

當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程為：y2 a 2+x 2 b 2=1，（a>b>0）;

在數學中，橢圓是圍繞兩個焦點的平面中的曲線，因此對於曲線上的每個點，到兩個焦點的距離之和是恆定的。 因此，它是圓的概括，圓是一種特殊型別的橢圓，兩個焦點位於同一位置。 橢圓的形狀（它如何“伸長”）由它的偏心率表示，對於橢圓，它可以是從 0（圓的極限情況）到任意接近但小於 1 的任何數字。

1.橢圓偏心率定義為橢圓上的焦距與長軸的比值，（範圍：0e=c a（02c.） 偏心率越大，橢圓越平坦; 偏心率越小，橢圓越接近圓。

2.橢圓的焦距：橢圓的焦點與其對應的對齊方式（如焦點（c，0）與對齊方式x=a 2 c）之間的距離為a 2 c-c=b 2 c

3. 關注 x 軸： |pf1|=a+ex |pf2|=A-ex（F1、F2 分別為左焦點和右焦點）。

4. 以右 Miga 為焦點的橢圓半徑 r=a-ex。

5.左焦點的半徑r=a+ex。

6. 關注 y 軸： |pf1|=a+ey |pf2|=a-ey（F2，F1 分別是上焦和下焦）。

7.橢圓直徑：垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩個交點之間的距離，即 |ab|=2*b^2/a。

8.如果中心在原點，但焦點在x軸或y軸上的位置不清楚，則可以將方程設定為擊敗鏈mx +ny =1（m>0，平衡n>0，m≠n）。 也就是說，標準方程的統一形式。

9.橢圓的面積是ab。 橢圓可以看作是某個方向上的圓的延伸，其引數方程為：x=acos，y=bsin

3.在左焦點f（-1,0）上，pat qin v=（1,1）中並行訓練的線性方程為x+1=y，橢圓方程x 2 4+y 2命中bi 3=1的中間，得到。

3x 2+4（x 2+2x+1）=12， 7x 2+8x-8=0，=64+4*7*8=8*36，設 a（x1，y1），b（x2，y2），則 |x1-x2|= 7，所以 |ab|=|x1-x2|√2=24/7.

橢圓及其標準方程分為兩種情況：當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為：x 2 a 2+y 2 b 2=1，（a>b>0）; 當焦點位於 y 軸上時，橢圓的標準方程為：

y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中 a2-c 2=b 2. 推導：PF1+PF2>F1F2（p 是橢圓上的點，f 是焦點）。

無論焦點是在 x 軸上還是在 y 軸上，橢圓始終相對於 x-y 原點是對稱的。 頂點：當焦點位於 x 軸上時：

軸向頂點：（-a，0），（a，0）; 短軸頂點：（0，b）、（0，-b）。當焦點位於 y 軸上時：

長軸頂點：（0，-a），（0，a）; 短軸頂點：（b，0），（b，0）。

橢圓鏡（橢圓在橢圓的長軸上旋轉橢圓180度形成的三維圖形，其所有內表面都做成反射面，空心）可以將從乙個焦點發出的所有光反射到另乙個焦點;

橢圓鏡片（其中有些是橢圓形的）具有聚光的作用（也稱為凸透鏡），如老花鏡、放大鏡、遠視鏡（這些光學特性可以通過反駁的方法證明）。 偏心率範圍：0偏心率越小，離圓越近，橢圓越大，橢圓越平坦。