如何判斷二階導數，如何判斷凸、凸和凹凹

我是一線高中數學老師，希望能幫到你。 取函式 f（x） 影象上的任意兩點，如果函式影象中這兩點之間的部分總是在連線兩點的線段下方，則該函式為凹函式。 直觀地說，凸函式是向上突出的影象。

例如，如果函式 f（x） 在區間 i 上是二階可導數，則 f（x） 是區間 i 上凹函式的充分和必要條件。

這是f''(x)>=0;f（x） 是區間 i 上的凸函式，充分和必要條件是 f''(x)<=0;通俗地說，如果乙個函式找到一階導數（例如，大於o），它只能表示它在增加，但不知道它是在增加得更快還是更慢（可以類比加速度）。

只有在找到二階導數之後，我們才知道速度遞增，即凸性。

f"（x） >0：圖形向下凹陷。

f"（x） <0：圖形向上凸。

求函式的一階導數 f'(x)、

二階導數 f"（x） 如果：

f'(x)>0；f"（x） <0：函式的圖形是一條在“凸”上單調增加的曲線。

f'(x)<0；f"（x） <0：函式圖是一條單調遞增的“向下”“凸”曲線。

f'(x)>0；f"（x） >0：函式的圖形是一條單調增加“向上”和“凹”的曲線。

f'(x)<0；f"（x） >0：函式的圖形是一條單調增加的“向下”和“凹”的曲線。

總結一下：f"（x） <0：圖形是凸的。

f"（x） >0：圖形是凹形的。

擴充套件資訊：函式 y=f（x） y = f （x） 的導數仍然是 x 的函式，那麼 y = f （x） 的導數稱為函式 y=f（x） 的二階導數。 從圖形上看，它主要顯示函式的凸性。

如果函式 f（x） 在某個區間 i 內有 f''（x） （即二階導數） > 0 常數，則對於區間 i 上的任何 x，y，如果總是有 f''（x） <0 為真，則上述等式的不等號反轉。

如果函式 f（x） 在某個區間 i 內有 f''（x）（即二階導數）>為常數 0，則在區間 i 上由 f（x） 影象上的任意兩點連線的線段，兩點之間的函式影象位於線段下方，反之亦然。

一階導數反映了函式的斜率，而二階導數反映了斜率變化的速度，這反映在函式的影象上，即函式的凹凸性質。 f （x） >0 與開口朝上且函式為凹，f （x） <0 與開口朝下且函式為凸。

對凸度和凹度的直觀理解：設函式 y=f（x） 在區間 i 上是連續的，如果函式的曲線高於其上任何一點的切線，則稱該曲線在區間 i 上是凹的; 如果函式的曲線低於其上任何點的切線，則稱該曲線在區間 i 上凸。

確定曲線 y=f（x） 的凹凸間隔和拐點的步驟：

1. 確定函式 y=f（x） 的域;

2. 求二階導數f"(x)；

3.找到使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點;

4.判斷或列表判斷，以確定曲線的凹凸區間和拐點。

函式的凸性和凹性是通過函式的切線變化率的趨勢來判斷的。 函式正切線的變化率為一階導數，一階導數的導數為二階導數，反映了函式切線速率的變化趨勢，即當函式正切線的斜率為正、負或零時，確定拐點， 從而判斷函式曲線的凸凹性質。二階導數的正負值正好反映了這種情況，因此可以判斷函式的凸性。

因為隨著顛簸的變化，曲線的切線斜率也會相應變化。

1 在凹面的最低點或凸度的最高點，切線斜率為0，即在凹面影象的最低點處，一階導數為02，一階導數從左>>的最低點趨向於右邊的<0，二階導數>>0

在凸影象的頂部附近，一階導數趨向於從 <0 向右移動，該過程的二階導數< 0

因此，函式的凹凸性質可以根據二階導數來判斷。

根據曲線的凹凸性質，當f（a）>0時，曲線在a點處凹;f （a） < 0，曲線在 a 點處凹陷。 如果曲線在A點處為正，在凹點為負（兩者都在下面設定），則凹方向的正負與f（a）的正負相同，f（a）的正負表示曲線在a點凹的正或負。

如果函式的一階導數在該點等於 0，並且二階導數大於 0，則圖形是凹形的。

如果函式在一階導數處等於 0，而二階導數小於 0，則圖形是凸的。

<>函式的凹凸性質與二階導數的關係：二階導數反映了斜率變化的速度，這反映在函式的影象中。

擴充套件材料。 f（x）>0，開口向上，函式為凹，f（x）。

凹。 如果二階導數大於 0，則該函式的一階導數為單個遞增函式。 也就是說，函式在每個點上的切斜率隨著 x 的增加而增加。 因此，函式圖是凹形的。

二階導數是原始函式的導數，原始函式是二次導數。 一般來說，函式y=f（x）的導數y=f'（x）仍然是x的函式，那麼y'=f'（x）的導數稱為函式y=f（x）的二階導數。 從圖形上看，它主要顯示函式的凸性。

切線斜率變化的速度是一階導數的變化率。 函式的凹凸性質（例如，加速度方向始終指向軌跡曲線的凹面）。

如果二階導數小於 0，則函式影象確實是凸的，但根據定義，它是乙個凹函式（任意兩點的弧總是在連線這兩點的線上方）。

相反，如果二階導數大於 0，則函式影象是凹的，並且根據定義是乙個凸函式（任意兩點的弧總是在連線這兩個點的線下方）。

定理 設函式 y=f（x） 在 [a，b] 中是連續的，在 （a，b） 中具有一階和二階導數，則 （1） 如果在 （a，b） 和 f（x）>0 中，則曲線 y=f（x） 在 [a，b] 上是凹的。 （2）如果在（a，b）中，f（x）<0，則曲線y=f（x）在[a，b]上凸。

二階導數的符號與函式的凸性之間的關係

從下圖中凹函式的切線來看，切線的斜率似乎在增加。

事實上，凹函式的切斜率隨著x的增大而增大，反之，凸函式的切斜率隨著x的增大而減小，二階導數的幾何意義是影象切線的斜率，對應。 也就是說，如果函式是凹函式，則二階導數大於 0，如果函式是凸函式，則二階導數小於零。

如果二階導數大於 0，則原始函式為凹函式小於 0 是凸函式。

設 f（x） 在 [a，b] 上是連續的，並且在 （a，b） 中有一階和二階導數，則：

1） 如果在 （a， b） f 中''（x） >0，則 [a，b] 上的 f（x） 是凹的。

（2） 如果在 （a， b） f 中''（x） <0，則 [a，b] 上的 f（x） 是凸的。

凸函式的性質：

在某個開區間 c 中定義的凸函式 f 在 c 內是連續的，並且除了乙個可數點之外，其他所有點都是微分的。 如果 c 是閉區間，則 f 在 c 的端點處可能是不連續的。

一元可微函式在區間上凸，當且僅當其導數在該區間上單調不遞減時，一元連續可微函式在區間上凸，當且僅當該函式高於其所有切線時：對於區間中的所有 x 和 y，存在 f（y）>f（x）+f'(x)(y−x）。特別是，如果 f'（c） = 0，則 c 是 f（x） 的最小值。

如果二階導數大於零，則原始函式的凹和凸性質為凹。

如果二階導數大於 0，則該函式的一階導數為單個遞增函式。 也就是說，函式在每個點上的切斜率隨著 x 的增加而增加。 因此，函式圖是凹形的。

二階導數是原始函式的導數，原始函式是二次導數。 一般來說，函式y=f（x）的導數y=f'（x）仍然是x的函式，那麼y'=f'（x）的導數稱為函式y=f（x）的二階導數。 從圖形上看，它主要顯示函式的凸性。

大於 0 的二階導數的凹凸性質的另乙個表示式是：

a=limδt 0 δv δt = dv dt（即速度與時間的一階導數）。

因為 v=dx dt 所以有：

a=dv dt=d x dt 是元位移隨時間的二階導數。

將這個想法應用於函式就是數學所說的二階導數。

f'（x）=DY DX （f（x） 的一階導數）。

f''（x）=d y dx =d（dy dx） dx （f（x） 的二階導數）。