數學分析的證明 30

我不會證明第乙個，而且我不經常使用它。 但可以提供想法。 通常，構造方法用於構造符合主題的收斂子列。

首先，由於它在閉合區間內是連續的，所以 h（x）=0 的點是有限的，所以最好設定為 n。 然後將其設定為 x1 ， xn

設 x0=0 ，xn+1=1 取 （x0，x1） （x1，x2）。xn，xn+1） （共 n+1 個點）得到 n+1 個區間，不需要第乙個區間。剩下的 n 個區間中的每乙個都有乙個零點。

使用二分法，您可以獲得乙個收斂的子列。 坦率地說，這個證明是有界序列必須有乙個收斂的子列。

剩下的就看你了。

問題2：所謂開集，是指在開集中的任意鄰域中都有另乙個元素。 證明這一點就足夠了，只要按照定義直接證明就行了。

由於 h（x） 在 （0,1） 內是連續的，因此對於任何 u 中的元素 x0，都存在。

對於任何 e（倒 e），有 o（delta），使得 |x-x0|0 通過保留符號知道存在 o（delta），使得 x 屬於 {x| |x-x0|0.

顯然 {x|.} |x-x0|0

對於任何屬於 you 的 x0，它都是真的，所以 u 是開集。

第乙個 h 是連續函式，閉集的前體是閉集。 切換緊集 [0,1] 是緊集的閉合子集，因此它是緊密的。

第二，h是連續的，開集]0，infinity[的前言是開集，開集是開集。

這是關於積分的第乙個中值定理：完整的描述是：如果函式 f（x） 和 g（x） 在區間 [a，b] 內是有界且可積的，f（x） 是連續的，並且 g（x） 在區間 [a，b] 中不變，則在區間或區間 [a，灣< <

一般數學分析教科書中提供了詳細的證據。 證明思想：設 g（x）>0，首先使用閉區間上連續函式的最大值定理來求解不等式，<>

然後通過使用定積分的估值定理來獲得不等式。

最後，運用積分中值定理得到問題的結論。

利用均值不等式。

由於 1≠2≠3 ≠......而<>n–1≠n

所以你不能得到乙個等號。

即 （n！ )^1/n) ＜1＋2＋……n） n=（n 1） 2 所以 n！＜[n＋1)/2]^n

這個話題剛剛在頭條上看到過有人**來回答這個問題，方法一你可以嘗試用數學歸納法，方法二是均值不等式，先把兩邊平方，然後用通貨緊縮，這樣你也可以得到乙個結論，當然，這個均值不等式是n元的不等式，

也就是說，要證明幾何平均值小於算術平均值，有幾種方法可以做到這一點。

證據1：

從代數均值大於幾何均值（1+2+3+......的事實可以看出n)/n>(1*2*3*……n） 的 n 次方，所以 n（n+1） 2n>（n！） 的 n 次方，所以 n！<[n+1)/2]^n。

證據2：證據2：因為0<1*n<[（1+n） 2] 2,0<2*（n-1）<[1+n） 2] 2,......0<（n-1）*2<[（1+n）2] 2,0 乘以 1 2*2 2*......n^2<[(1+n)/2]^2n(n!n<[（1+n） 2] 2n，所以 n！<[n+1)/2]^n

只要證明（n m，sqrt（2）中存在大於0的函式值，就可以證明（n m）2不在（1,2）中。 在這種情況下，採用插值法，用 t 表示 n m 處 2-x 2 的函式值，並將 r 構造為與 t 相關的表示式。

假設 r= tn m，則 （n m+r） 2=（n m） 2+2nr m+r 2

n/m)^2+2αt(n/m)^2+α^2t^2(n/m)^2

使用T（n m） 2<2t、t 2（n m） 2<2t （（n m） 2<2 和 t<1

So（n m+r） 2<（2-t）+4 t+2 2t

To （n m+r） 2<2， （2-t）+4 t+2 2t<2 是必需的，即 2 2+4 -1<0

-sqrt（6） 2-1< sqrt（6） 2-1 ，所以取 =1 6 完成證明。

設 '=inf f（x）， =inf g（x）， =inf[f（x）g（x）]，=sup f（x）

由下限定義，對於 >0，x d 使 f（x）g（x）<

因為 '和 '' 是 d 上 f（x） 和 g（x） 的下限。

因此，對於任何 x d，都有 f（x） g（x） 和 f（x），g（x） 不是負數，所以 f（x）g（x）。

所以 + f（x）g（x） 是由任意性決定的，

即 inf[f（x）g（x）] inf f（x） inf g（x）。

細節：如果<是任意的，可以做成 = ' 0，那麼 + = ' 和 + 即 ' 的定義是矛盾的，所以它只能是

By '' 是 d. 上 g（x） 的下界，對於 >0， x d， g（x）-

所以 'g（x）- f（x）g（x）- 其中最後乙個不等號用於 d 上 f（x）g（x） 的下界。

它由任意性和有界性組成，即 inf[f（x）g（x）] sup f（x） inf g（x）。

首先，證明 （1+x） n 1+nx 成立，當 n=1 成立任何 x （-1， ） 和正整數 n 時，命題成立。

假設 n=k 為真，即 （1+x） k 1+kx 是由於 x>-1，兩邊相乘 （1+x） 後不等號的方向不變，並且有 （1+x） （k+1） （1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx

1+(k+1)x

也就是說，當 n=k+1 時，命題為真。

因此，對於任何 x （-1， ） 和正整數 n，（1+x） n 1+nx 為真，條件為 kx = 0，即 x = 0

所以當且僅當 x=0 時，存在 （1+x） n=1+nx=1

函式導數法是單變數不等式最基本的方法。

f（h)=（1+h）^n-（1+nh）

f'(h)=n（1+h）^（n-1）-n

當 -1 h 0 f'＜0

當 h 0 f'＞0

所以 f 在 h=0 時取最小值 0

因此 f（h） 0

這是 （n+1） 個元素的平均不等式。

左邊是幾何平均值，右邊是算術平均值。

幾何平均值 算術平均值。

詳情請參閱網頁連結。

上面的 n+1 個數字已經寫好了，其中 n 是 1+1 n，1 是 1，然後只使用均值不等式。

右邊的等式實際上是以下幾點：

證明：（1）假設它不是無理數，那麼兩個有理數a+x-a=x之間的差就是乙個有理數，這是自相矛盾的。 （2）假設它不是無理數，那麼兩個有理數的商ax a=x就是乙個有理數，這是自相矛盾的。

您可能希望設定 a0，因此原始公式 <1; （a+x） （b+x）-a b=x（b-a） b（b+x）>0，（a>b後也可以證明，結論反轉）。

證明：（反證）假設它不是無理數，那麼根數 p 可以表示為 a b、a、b 為正整數，則 p=a2 b2，即 a2=p b 2

推出下面的 P，它是平方的。

a=[x1，x2]， x1 可以展開為一組正交基，然後將擾頻節拍重新組合，即存在乙個正交矩陣，使得 He 型 t at= 三角矩陣，則 |λe-a|=|e-t¹at|，at 都是實數矩陣，則慢脫落|λe-a|=|e-t¹at|=（1）*（2）

所以 a 有乙個真正的特徵向量。