第 61 頁 選修課 2 1、注意雙曲線的簡單幾何性質，見補充題。

解決方案：書中“實軸長度”和“虛軸長度”都有“定義”。

對於雙曲線 （x a） y b ） = 1，其中 a > 0 和 b > 0，我們稱 2a 為該雙曲線的實軸的長度，2b 稱為虛軸的長度。

對於雙曲線 （y a x b ） = 1，其中 a > 0，b > 0，我們稱 2a 為該雙曲線的實際軸長度，2b 為虛軸長度。

因此，當且僅當 a=b=（ 2 2）c（其中 c 是半焦距），實軸和虛軸的長度相等。

從圖形上講，虛線軸長度是雙曲線所在的笛卡爾坐標平面中點 a（0，b） 和點 b（0， b） 之間的距離。

以第一條雙曲線為例，設方程中的 x = 0，得到 y = b，則 y 沒有實解，y 的值無法計算。 但是，當你學習複數時，你就會知道y在複數集中有乙個虛解，你將有能力將y的虛數解解為y=bi，從而更深入地理解“虛軸”和“虛軸長度”的概念。

實軸的長度=2a，虛軸的長度=2b，實軸的長度=虛軸的長度，當有實軸長度=虛軸的長度時，所以雙曲線稱為等軸雙曲線。

這一切都在教科書中定義。

在雙曲標準方程中，2a是實軸的長度，2b是虛軸的長度，影象中兩個端點之間的距離是實軸的長度，虛軸是不可見的。

當漸近線的斜率為正負 1 時，它是等軸雙曲線（即 a=b）。

解：設 m（x， y） 是雙曲線上的任意點，f1 在 f2 的左邊，1） 如果點 m 在雙曲線的右分支上，則 <>

作者 |mf1|是線段 mf1、mf2|是線段 mf2 的長度，線段 mf1 比線段 mf2 長。

mf1|>|mf2|.

因此 |mf1|-|mf2|>0

轉到絕對值符號，有。

mf1|-|mf2||=|mf1|-|mf2|

當點 m 位於雙曲線的右分支上時，|mf1|-|mf2|=2a(a>0)

2）同樣如此。作者 |mf1|是線段 mf1、mf2|是線段 mf2 的長度，如果點 m 位於雙曲線的左分支上，如下所示。

線段 mf1 比線段 mf2 短， |mf1|<|mf2|.

因此 |mf1|-|mf2|<0

轉到絕對值符號，有。

mf1|-|mf2||=-（|mf1|-|mf2|）=-2a.

當點 m 位於雙曲線的左分支上時，|mf1|-|mf2|=-2a(a>0)

3） 雙曲線的定義： ||mf1|-|mf2||=2a，橢圓的定義為：|mf1|+|mf2|=2a 在兩個方面有所不同：

前者是雙曲線上任意點 m 與兩個不動點 f1 和 f2 之間的距離之差的常數值;

後者是從橢圓上任意點 m 到兩個固定點 f1 和 f2 的距離之和，等於常數，乙個是兩個距離（即兩條線段）之差的絕對值。

另乙個是兩個距離（即兩條線段）的總和;

真是不可觸碰！

常數值 2a 的大小不同。

雙曲線：0<2A<2C; （A 小於 C）。

而。 橢圓：0<2c<2a（A 大於 C）。

25x^2-16y^2=400 ===> x^2/16-y^2/25=1

因此，a 2 = 16 和 b 2 = 25;c 2 = a 2 + b 2 = 41 然後 a = 4， b = 5， c = 41

實軸長度 = 2a = 8，虛軸長度 = 2b = 10，頂點坐標 （4,0），焦坐標 （41,0），漸近線方程 y = （5 4）x，偏心率 e = c a = 41 4

問題 2：實軸的長度 = 2a = 8，虛軸的長度 = 2b = 4 2 問題 3：漸近線是 y = （1 2）x

問題 4：a=2，b=2 2，c=2 3，所以偏心率 e= 3 問題 5：a= a，b= b，c= （a+b） 所以，e=c a= （a+b） a= 5 2 ===> （a+b） a=5 4 ===> b a=1 4 ===> a=4b

漸近線為 y= （b a）x，頂點為 （a，0），因此從頂點到漸近線的距離為 d=|√b|/√[(b/a)+1]=2√5/5===> √b/[(1/4)+1]=2√5/5===> √b=(2√5/5)*(5/4)=√5/2===> b=5/4

所以，a=4b=5

那麼雙曲方程為：x 2 5-y 2 （5 4）=1

雖然在y軸上，但不在曲線上，即b1和b2是人們為了方便研究雙曲線而定義的特殊點，而這個點不在曲線上，所以線段b1b2稱為虛軸（即不存在的軸）。 繪製軸只是為了方便研究，以模仿橢圓短軸的定義。 如果你看一下埋藏的雙曲線圖，就很容易理解鏈蟻了。

你學過虛數嗎？ y 2=-b 2，所以 y=bi 或 -bi，i 是虛單位，i 2=-1 是定義的，所以 y 是零的實部，虛部是 b 或 -b 純虛電阻是全部，y 的模是 |b|，虛數類似於向量，可以用笛卡爾坐標系表示，如笛卡爾坐標系中的y=bi為（0，b）。

在高中第二學期的第二學期，會有關於虛數的一章，到時候你就會明白了。

方程沒有實根，這意味著曲線與 x 軸沒有交點。 B1（0，-B），B2（0，B）是方程中根據B找到的兩個點，而不是根據交點繪製的兩個點，因此可以繪製它們並且正好在y軸上。 這並不矛盾。

後面提到的假想軸和假想半軸是定義，也就是說，它們是這樣規定的。

例如，曲線是單位上的半圓，方程 f（x，y）=x 2+y 2-1=0 表示單位圓，所以曲線上的坐標是這個方程的解，但這個方程的解也包括單位的下半圓，所以條件（2）是必要的。

但是如果曲線是乙個單位圓，則方程 f（x，y）=y-（1-x 2） （1 2）=0

方程表示上半個單位圓，所以這個方程的解在曲線上，但曲線也包括下半個單位圓，所以曲線上的點並不都是這個方程的解，所以條件（1）是必要的。

因此，只有當條件（1）和（2）同時滿足時，曲線和方程才能一致。