變數上限積分導數的小問題

設 f（t） 是 tf（t） 的原始函式。

則 f'（t） = tf（t）。

下限為0，上限為x）t f（t）dt = f（t）|（下限 0，上限 x） = f（x）-f（0）。

推導後，它是 f'（x） = xf（x） （由於 f（0） 等於乙個常數，它的導數為 0）。

設 g（t） 是 （x-t）f（t） 的原始函式。

g‘(t)=(x-t)f(t)

和 （下限 0，上限 x）（x-t） f（t）dt=g（t）|（下限 0，上限 x） = g（x）-g（0）。

找到它的導數後，它是g'（x）-[g（0）]。'=(x-x)f(x)-[g(0)]' =-[g(0)]'

因為 g（t） 包含 x，所以 g（0） 是與 x 相關的函式，它的導數不是 0）。

由於我們不知道 g（0） 和 x 之間的關係是什麼，所以我們不要求它。

要推導具有變數上限的積分，需要保證被積數與x無關，而只與積分變數t相關，因此使用公式0，x） f（t） dt推導x，導數為f（x）。

因此，有必要首先使用元素交換等方法將x調整到積分的上限和下限。

變數上界積分的導數不是牛頓-萊布尼茨公式。

首先，你需要知道導數公式：f（x） = 上限 x，下限 a） f（t）dt，然後 f'（x） = f（x），這是基本公式。

如果 f（x）=x（上限 x，下界 a） f（t）dt，則 f（x） 可以看作是兩個函式的乘法，乙個是 x，另乙個是（上限 x，下限 a）f（t）dt，所以 f（x） 導數是根據乘積導數定律計算的，注意（上限 x， 下限 a）f（t）dt=u（x）。

f'(x)=(xu(x))'x)'u(x)+xu'(x)=u(x)+xu'（x） = 上限 x，下限 a） f（t）dt + xf（x）。

有兩個結果：前者是x導數，u（x）是常數，後者是x不變的，u（x）是導數。

f（x）= （a，x）xf（t）dt，這個定理是變數極限積分最重要的性質，掌握這個定理需要注意兩點：第一，下限是乙個常數，上限是引數變數x（不是其他包含x的表示式）;

其次，被積函式 f（x） 只包含積分變數 t，而不包含引數變數 x。

積分變數極限函式是一類重要的函式，它們最著名的應用是在牛頓萊布尼茨公式的證明中

事實上，積分變數極限函式是生成新函式的重要工具，特別是因為它可以表示非初等函式並將積分問題轉化為微積分問題。

1).導數是基於鏈的規律

x * 0,x] f(t) dx ) ' = (x) ' * 0,x] f(t) dx + x * 0,x] f(t) dx ) ' = ∫[0,x] f(t) dx + x * f(x)；

2). 0,x] t * f(t) dt ) '= x * f（x），可以設定 f（t） = t * f（t），這樣可以方便理解;

3).沒錯，只要把 x 看作乙個正態數字;

4).u=x - t 0， x] f（u） du，這裡有 t，有 u，你在數什麼？

問我

設 x-t=u，則 dt=

DU，所以 （0 至 X）F（X-T）DT

（x 至 0）f（u）du

因此，（0 到 x）f（u）du。

x（0 至 x）f（x-t）dt

x（0 到 x）f（u）du，所以。

d[x （0 至 x）f（x-t）dt] dxd

x （0 至 x） f（u）du

DXXD（0 至 X）F（U）DU

dxdx/dx

0 至 x）f（u）du

請注意，這裡，如果變數上限積分函式 （0 到 x）f（u）du 是從 x 派生的，則導數是 f（x） 而不是 f（u），所以 d[x（0 到 x）f（x-t）dt] dx=xd

0 至 x）f（u）du

dxdx/dx

0 到 x）f（u）du=x

f（x）（0 至 x）f（u）du

問題不在於xf（u）是否可以直接替換為xf（x），而在於xf（x）的導數是由xf（x）獲得的。

設 u=x-t

則 t=x-u

t 的上限和下限是 0---x，所以 u 的上限和下限是 x---0，dt=d（x-u）=

dUx （0 至 X）F（X-T）DT

x （x 至 0） f（u） （-du） =

x （0 至 x） f（u） （

du） = x （0 至 x） f（u）du

得到以下導數：xf（x）+）0 至 x）f（u）du=xf（x）+）0 至 x）f（t）dt

[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x)，也就是說，變化的上限積分到變化的上限的導數等於將變化的上限帶入被積數。 例：

f（x）= 0，x] sint t dt 雖然 sint t 的原始函式 f（x） 不能用初等函式表示，但 f（x） 的導數可以根據變分上限積分的導數計算：[f（x）]。'0,x] sint/t dt ]'sinx/x。

[變分上限積分導數規則]的一般形式是：[ x） ，x）] f（t）dt]。' f(φ(x))φx)-f(ψ(x))ψx)

設函式 y=f（x） 在區間 [a，b] 上可積，對於任何 x [a，b]，y=f（x） 在 [a，x] 上可積，其值與 x 形成對應關係（如概述中的 ** 所示），（x） 稱為具有變數上限的定積分函式。

積分上限函式的定積分：

設 f（x） 在區間 [a，b] 上是連續的，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。 設 f（x） 以區間 [a，b] 為界，並且只有有限數量的不連續性，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。 設 f（x） 在橋襪區間 [a，b] 上是單調的，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。

將函式在一定區間內的影象 [a，b] 分成 n 個部分，將其分成無限個矩形，直線平行於 y 軸，然後求 n + 時所有這些矩形的面積之和。

在比例函式的情況下，x 和 y 之間的商為 （x≠0）。 在 Zen 搜尋示例函式的反比中，x 和 y 的乘積是固定的。 在 y=kx+b （k，b 是常數，k≠0） 中，當 x 增加 m 時，函式值 y 增加 km，反之，當 x 減小 m 時，函式值 y 減小 km。

上限無窮大的變數極限積分，不考慮上下限，先寫出原函式，然後當變數取無窮大時，相當於取極限為固定值。

積分的下界是a，下界是g（x）然後求這個變數上限的乘積的導數，g（x）而不是f（t）中的t，然後乘以g（x）求x的導數。

即 g'（x） 所以導數是 f[g（x）]*g'（x）這個氣飢餓的意思是積分的下限是a，下限是g（x），所以要求這個變數上限的積分函式的導數，在f（t）中用g（x）代替t，然後乘以g（x）求x的導數， 也就是說，G.'（x） 所以導數是 f[g（x）]*g'(x)。

事實上，積分變數極限函式是生成新函式的重要工具，特別是因為它可以表示非初等函式並將積分問題轉化為微積分問題。 除了擴充套件我們對函式概念的理解外，積分變數極限函式在許多場合都有重要的應用。

如果在這種情況下直接找到導數，則會犯錯誤。 原因很簡單：書中變數積分的上導數的基本形式是：<>

在這種形式中，f（t） 不包含 x。 如果問題中的 f（t） 包含 x（例如，f（tx）），則只能對後續積分變數 t 進行變換，使其與被積數的變數具有相同的形式，最後使用換向方法完成替換。

例如：<>