如何推導變數上限積分，如何推導變數上限積分？

f（x）= （a，x）xf（t）dt，這個定理是變數極限積分最重要的性質，掌握這個定理需要注意兩點：第一，下限是乙個常數，上限是引數變數x（不是其他包含x的表示式）;

其次，被積函式 f（x） 只包含積分變數 t，而不包含引數變數 x。

積分變數極限函式是一類重要的函式，它們最著名的應用是在牛頓萊布尼茨公式的證明中

事實上，積分變數極限函式是生成新函式的重要工具，特別是因為它可以表示非初等函式並將積分問題轉化為微積分問題。

1).導數是基於鏈的規律

x * 0,x] f(t) dx ) ' = (x) ' * 0,x] f(t) dx + x * 0,x] f(t) dx ) ' = ∫[0,x] f(t) dx + x * f(x)；

2). 0,x] t * f(t) dt ) '= x * f（x），可以設定 f（t） = t * f（t），這樣可以方便理解;

3).沒錯，只要把 x 看作乙個正態數字;

4).u=x - t 0， x] f（u） du，這裡有 t，有 u，你在數什麼？

問我

變數上界積分的導數不是牛頓-萊布尼茨公式。

首先，你需要知道導數公式：f（x） = 上限 x，下限 a） f（t）dt，然後 f'（x） = f（x），這是基本公式。

如果 f（x）=x（上限 x，下界 a） f（t）dt，則 f（x） 可以看作是兩個函式的乘法，乙個是 x，另乙個是（上限 x，下限 a）f（t）dt，所以 f（x） 導數是根據乘積導數定律計算的，注意（上限 x， 下限 a）f（t）dt=u（x）。

f'(x)=(xu(x))'x)'u(x)+xu'(x)=u(x)+xu'（x） = 上限 x，下限 a） f（t）dt + xf（x）。

有兩個結果：前者是x導數，u（x）是常數，後者是x不變的，u（x）是導數。

設 x-t=u，則 dt=

DU，所以 （0 至 X）F（X-T）DT

（x 至 0）f（u）du

因此，（0 到 x）f（u）du。

x（0 至 x）f（x-t）dt

x（0 到 x）f（u）du，所以。

d[x （0 至 x）f（x-t）dt] dxd

x （0 至 x） f（u）du

DXXD（0 至 X）F（U）DU

dxdx/dx

0 至 x）f（u）du

請注意，這裡，如果變數上限積分函式 （0 到 x）f（u）du 是從 x 派生的，則導數是 f（x） 而不是 f（u），所以 d[x（0 到 x）f（x-t）dt] dx=xd

0 至 x）f（u）du

dxdx/dx

0 到 x）f（u）du=x

f（x）（0 至 x）f（u）du

問題不在於xf（u）是否可以直接替換為xf（x），而在於xf（x）的導數是由xf（x）獲得的。

設 u=x-t

則 t=x-u

t 的上限和下限是 0---x，所以 u 的上限和下限是 x---0，dt=d（x-u）=

dUx （0 至 X）F（X-T）DT

x （x 至 0） f（u） （-du） =

x （0 至 x） f（u） （

du） = x （0 至 x） f（u）du

得到以下導數：xf（x）+）0 至 x）f（u）du=xf（x）+）0 至 x）f（t）dt

[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x)，也就是說，變化的上限積分到變化的上限的導數等於將變化的上限帶入被積數。 例：

f（x）= 0，x] sint t dt 雖然 sint t 的原始函式 f（x） 不能用初等函式表示，但 f（x） 的導數可以根據變分上限積分的導數計算：[f（x）]。'0,x] sint/t dt ]'sinx/x。

[變分上限積分導數規則]的一般形式是：[ x） ，x）] f（t）dt]。' f(φ(x))φx)-f(ψ(x))ψx)

設函式 y=f（x） 在區間 [a，b] 上可積，對於任何 x [a，b]，y=f（x） 在 [a，x] 上可積，其值與 x 形成對應關係（如概述中的 ** 所示），（x） 稱為具有變數上限的定積分函式。

積分上限函式的定積分：

設 f（x） 在區間 [a，b] 上是連續的，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。 設 f（x） 以區間 [a，b] 為界，並且只有有限數量的不連續性，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。 設 f（x） 在橋襪區間 [a，b] 上是單調的，則 f（x） 在 [a，b] 上是可積的。

將函式在一定區間內的影象 [a，b] 分成 n 個部分，將其分成無限個矩形，直線平行於 y 軸，然後求 n + 時所有這些矩形的面積之和。

在比例函式的情況下，x 和 y 之間的商為 （x≠0）。 在 Zen 搜尋示例函式的反比中，x 和 y 的乘積是固定的。 在 y=kx+b （k，b 是常數，k≠0） 中，當 x 增加 m 時，函式值 y 增加 km，反之，當 x 減小 m 時，函式值 y 減小 km。

如果在這種情況下直接找到導數，則會犯錯誤。 原因很簡單：書中變數積分的上導數的基本形式是：<>

在這種形式中，f（t） 不包含 x。 如果問題中的 f（t） 包含 x（例如，f（tx）），則只能對後續積分變數 t 進行變換，使其與被積數的變數具有相同的形式，最後使用換向方法完成替換。

例如：<>

偏積分法，但一般乘積變數和上下界變數會選擇不同的表示式，比如t。

這裡的意思是積分的下界是a，下界是g（x），所以要找到這個變數上界積分函式的導數，我們將f（t）中的t換成g（x），然後乘以g（x）得到x的導數，即g'（x） 所以導數是 f[g（x）]*g'（x） 這就是它的意思。

積分的下限是a，下限是g（x）。

然後找到這個變數上限積分函式的導數。

將 f（t） 中的 t 替換為 g（x）。

乘以 g（x） 求 x 的導數，即 g'(x)

所以導數是 f[g（x）] g'(x)