正三稜柱ABC A1B1C1的底邊長度為a，邊長為根數2a，得到AC1與邊ABB1A1形成的夾角。

如圖所示，以點A為坐標原點O，以AB形成的直線為OY軸，以AA1所在的直線為oz軸，以垂直於平面ABB1A1的直線為OX軸建立空間笛卡爾坐標系

A（0,0,0）、B（0，A，0）、A1（0,0,2A）、C1（-32A，A2,2A）是已知的

坐標系如上，取a1b1的中點m，所以有m（0，a2,2a），其中am，mc1的mc1有mc1 = （-32a，0,0），ab = （0，a，0），aa1 = （0,0,2a），由mc1 6 1 ab =0，mc1 6 1 aa1 =0，因此，mc1表面ABB1A1、AC1和AM形成的夾角是AC1和邊ABB1A1形成的夾角

ac1→= (-32a，a2，2a)， am→= (0，a2，2a)， ac1→�6�1 am→= 0+a24+2a2=94a2， |ac1→|= 3a24+a24+2a2= 3a， |am→|= A24+2A2=32A，余弦 Ac1 ，Am = 94A23A 6 132A=32，因此，AC1 和 AM 之間的夾角，即 AC1 與側 ABB1A1 之間的夾角為 30°

以B1A1為Y軸，以B1A1為O點，以OC1為X軸，以Ba中點為O1，以Oo1為Z軸建立坐標系。

1）A的坐標為2A，2A），B的坐標為（0，-1 2A，2A），A1的坐標為2A，0），B1的坐標為（0，-1 2A，0）;

2）因為是正三稜柱，所以面C1B1A1垂直於面ABB1A1並連線AO，所以OC1垂直於AO並連線AC1，三角形AOC1為直角三角形。因為 A1B1C1 是乙個正三角形，OC1 是半數的根數 5，因為 Aa1 是 2A，A1C1 是 A，所以 AC1 是根數 5，所以角 C1AA1 是 30 度，所以 AC1 和邊 ABB1A1 之間的夾角是 30 度。

通過 C1 使平面的垂直線 ABA1B1。

垂直腳是 A1B1 的中點，表示為 D

ab1 的垂直線穿過 d，垂直腳表示為 f

可以看出，ab1 垂直於平面 c1df

所以二面角禪品襯衫等於角度C1FD

讓我們進行計算（現在應該很簡單）。

c1d=√3a/2

db1=a/2

df=db1*aa1/ab1=√3a/6

c1f=√30a/6

余弦值 = df c1f = 10 和振腔 10

C以A為原點，建立以AB為底AB的垂直線，以AA1為x軸、Y軸和Z軸的空間笛卡爾坐標系，以A為乙個單位，A（0,0,0），B（1,0,0），C（1 2,3 2,0），A1（0,0,2），B1（1,0,2），C1（1 2,3 2,2），向量AC1=（1 2， 3 2， 2），XOZ平面中的平面ABB1A1，法向量n=（0,1,0），向量AC1·n= 3 2，n|=1,ac1|= （1 4+3 4+2）= 3，設 n 和 ac1 之間的夾角為 1，ac1 與平面 abb1a1 之間的夾角為 ，1= 2，cos 1=ac1·n （|ac1|*|n|)=（√3/2）/（√3）=1/2，cosα=sinα1=γ（1-1/4）=√3/2，α=30°

AC1 和側面 AB1 之間的角度為 30°

為什麼我們必須使用向量解決方案？

取 a1b1 的中點 m，a1b1c1 為正，c1m a1b1，平面 abb1a1 平面 a1b1c1，c1m 平面 abb1a1，c1am 是 ac1 和平面 abb11 之間的角度 c1m = 3 2，ac1 = 3，am = （aa1 2 + a1m 2） = 3 2，cos

連線 BC1 和 AC1

根據正三稜柱的性質，很容易證明BC1=AC1=3和AB=1

根據餘弦定理。

bc1)²+ac1)²-ab)²=2×bc1×ac1×cos β3+3-1=2×3×cos β

arcos(5/6)

m 是 AC 的中點。

取 AE 中點 P 並連線 MP，當 M 是 AC 中點，MP 平行且等於 1 2ec，並且因為 FB 平行且等於 1 2EC，所以 FB 平行且等於 MP，所以 MPFB 是平行四邊形，所以 BM 平行於 FP，即 BM 平行於平面 AEF

取 a1b1 的中點 D 並連線 C1d 和 AD

側邊緣垂直於底面。

AA1平面A1B1C1

aa1⊥c1d

底部是乙個等邊三角形。

c1d⊥a1b1

C1d 平面 abb1a1

那麼 dac1 是 ac1 和 abb1a1 之間在側面的角度，ac1 = （1 +（2） ） ） = 3

c1d=√3/2

sin∠dac1=c1d/ac1=1/2

dac1=π/6

AC1 與側面 ABB1A1 之間的夾角為 6

由於 C1D1 垂直於 A1B1 到 D1，因此 C1D1 垂直於表面 AbB1A1 以連線 Ad1，並且角度 C1Ad1 是所尋求的。

在三角形 C1Ad1 中，角 C1D1A = 90 度，AC1 = 根數 3，AD1 = 3 2

cosc1ad1=ad1 ac1=root3 2，所以角度c1ad1=30度。

如果 C1D 在 D 中垂直於 A1B1，那麼我們可以發現 AC1 = 根數 3，C1D = （根數 3） 2，並且角度 ADC1 為 90 度，則角度 C1ad 等於 30 度，即 AC1 與邊 ABB1A1 之間的夾角為 30 度。