誰能對指數函式的單調性給出嚴格的證明？

對於 x、> 0，如果不首先說明它的確切定義，就不可能討論它的單調性。

指數函式是在整個實數範圍內定義的。 讓我們從整數的定義開始：

a n = a * a * a （n > 0，下同）（n a 乘法）。

a^0 = 1

a^(-n) = 1 / a^n

讓我們談談有理數集合的定義：

a（1 n） = n a 的算術根，a（p q） = q （a p） 的算術根，其中 p q 是約化分數。

這樣，定義了有理數集合上的指數函式。 並且不難用初等方法證明一組有理數上a（p q）的單調性。 實際上，對於 A （P1 Q1） 和 A （P2 Q2），分數 P1 Q1 和 P2 Q2 可以一起除以，因此分母相同，分母相同，因此它們分別是 P1' / q， p2' / q。

現在它是乙個 （1 q） 鹼基和 p1'和 p2'是指數的兩個數字的大小。 顯然，當 a > 1、a （1 q） >1 時，使函式嚴格單調增加; 反之，< 1，也可以證明函式是嚴格單調約簡的。

現在對於任何實數 x，我們可以取一系列有理數，當 n 無限增加時，它趨向於 x 單調，那麼我們可以將 x 定義為 n 無限增加時 qn 的極限。

如果我們使用一系列有理數來逼近指數函式，那麼對於兩個彼此任意接近的實數，我們可以取兩個足夠準確的有理數來替換它們，並保持大小關係不變。 （當然，這裡面有一些操作上的保證，比如為什麼前面的定義是合理的，即為什麼存在限制等等，我就不寫了。 這樣，實數下指數函式的單調性可以簡化為有理數的單調性，並且與它相同。

你學到了點嗎？ 如果你已經學會了，要找到函式的導數，就證明恆大和（or=）0是單次遞增，導電常數很小，（or=）0是單次遞減。

問問你的數學老師！

老師們詳細講了講。

首先，y a x 是乙個指數函式，我們通常討論 a>0 和 a≠1 的情況。

當指數為負整數時，設 =-k，那麼，顯然，x≠0，函式的域是 （ 0） （0，+，所以我們可以看到 x 受兩點限制：

一是可以成為分母而不是 0。

一是有可能在偶數次下而不為負數，那麼我們就可以知道：當小於 0 時，x 不等於 0; 當分母為偶數時，x不小於0; 當 的分母為奇數時，x 取 r。

單調區間：當是整數時，正、負和奇偶校驗決定了函式的單調性。

當為正奇數時，影象在定義的域 r 內單調遞增。

當為正數和偶數時，影象在第二象限內單調減小，在定義域的第一象限內單調增加。

當為負奇數時，影象在前三個象限的每個象限中單調減小（但不能說在定義的域 r 內單調減小）。

當負偶數時，影象在第二象限中單調增加，在第一象限中單調減少。

當是分數（分子為 1）時，正負和分母的奇偶性決定了函式的單調性。

如何證明函式單調性。

有兩種主要方法可以確定函式在區間內的單調性：

定義：1讓任意 x1 和 x2 給定間隔，並且 x12將 f（x1）- f（x2） 計算到最簡單的方法。 [最好表示為整數乘積的形式]。

3.確定上述差異的符號。

導數法：利用導數公式求導數，然後判斷導數函式與0的大小關係，從而判斷增減，導數值大於0，表示為嚴格遞增函式，導數值小於0，表示為嚴格遞減函式， 前提是原始功能必須是連續的。當導數大於或等於 0 時，它也可以是乙個遞增函式，當導數小於或等於 0 時也是如此。

擴充套件資訊：某些函式在整個定義的域中是單調的; 某些函式在定義的域內的某些區間內遞增，並在部分區間內減去; 有些函式是非單調的，例如常數函式。

函式的單調性是函式在單調區間中的“整體”性質，它是任意的，不能用特殊值代替。

在用導數來討論乙個函式的單調區間時，首先要確定函式的域，而在求解問題的過程中，我們只能通過討論定義域中導數的符號來判斷函式的單調區間。

如果具有相同單調性的函式有多個單調區間，則這些單調區間不能與“”連線，而只能用“逗號”或“和”字分隔。

證據：呼叫隱藏集合的缺失 f（x）=a 的 x 倍，a-0，x-rf'（x）=a 的 x-冪*lna

如果為 1，則 lna Zheng 為 0，此時點 F'（X） 0，指數函式單調遞增。

如果 a 1，則 LNA 為 0，此時 f'（x） 為 0，則指數函式正在遞減。 認證。

y=a x 如果 a>1，則函式單調遞增，如果 00y2=5 x2>0

y1/y2=5^x1/5^x2

5^(x1-x2)

因為 x1 x2 所以 x1-x2 0 5 （x1-x2） 1 所以 y1 y2

根據增加函式的定義。

y=5 x 的冪的上標，x 的冪是定義域中的增量函式。

指數函式用定義證明單調性，通常作為商，然後將大小與 1 進行比較。

指數函式是數學中的重要函式。 應用於值 e 的函式寫為 exp（x）。 它也可以等效地寫成 ex，其中 e 是乙個數學常數，它是自然對數的底，近似等於 ，也稱為尤拉數。

它在高中明初數學中占有一定的地位。 那麼指數函式的性質是什麼呢？ 如何證明指數函式的單調性？

指數函式通常具有以下屬性：

1）指數函式的定義域是所有實數的集合，這裡的前提是a大於0且不等於1，對於a不大於0，那麼函式的定義域中一定沒有連續區間，所以我們不考慮它， 而 a 等於 0 的函式的無意義一般不考慮。

2） 指數函式的實數範圍大於 0。

3）函式圖都是凹形的。

4）如果a大於1，則指數函式單調遞增;如果 a 小於 1 且大於 0，則它是單調遞減的。

5）可以看出，當 a 從 0 移動到無窮大（當然不能等於 0）時，函式的曲線分別從靠近 y 軸和 x 軸正半軸的單調遞減函式的位置移動到 y 軸的正半軸和 x 軸的負半軸的單調遞增函式的位置， 分別。其中水平線 y=1 是從遞減到遞增的過渡位置。

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6） 函式總是在乙個方向上無限地趨向於 x 軸，並且從不相交。

7）函式總是通過點（0,1），（如果y=ax+b，則函式通過點（0,1+b）固定 （8）顯然，指數函式是無界的。

9）指數函式既不是奇數也不是偶數。

10） 當兩個指數函式中的 a 相互倒數時，兩個函式相對於 y 軸是對稱的，但兩個函式都不是奇偶校驗。

通過理解以下幾點，可以很容易地證明直接函式的單調性：

1） 指數函式在域 r 中定義，前提是 a 大於 0 且不等於 1。如果a不大於0，必然會使函式的定義域不連續，所以我們不考慮它，a等於0的函式是無意義的，一般不考慮。

2）指數函式的範圍為（0，+）。

3）函式圖都是凹形的。

4）a>1，指數函式單調遞增;如果。

5） y=ax+b，則函式固定在點 （0,1+b））（8） 指數函式是無界的。（9）指數函式是非奇數非偶數函式 （10）指數函式有反函式，其反函式是對數函式，是多值函式。

指數函式單調性證明的理論依據是王曉軍，巴中市第五中學。

你必須根據定義去做嗎？ 或者它可以簡化為具有已知單調性的函式嗎？

首先，定義域：

分母不能為 0，因此 3 x-1≠0,3 x≠1，x≠0

因此，f（x） 的域分為兩個獨立的區間 （- 0） 和 （0，+，在這兩個區間中分別討論。

f（x）=（3^x+1）/（3^x-1）

1+（2/（3^x-1））

當 x （-0） 時。

3 x-1 0 並單調遞增。

所以 2 （3 x-1） 0 並且單調遞減。

所以 f（x）=1+（2 （3 x-1）） 1，並且單調遞減。

當 x （-0） 時。

3 x-1 0 並單調遞增。

所以 2 （3 x-1） 0 並且單調遞減。

所以 f（x）=1+（2 （3 x-1）） 1，並且單調遞減。

所以 f（x） 是兩個開區間 （- 0） 和 （0，+） 中的單調遞減函式。

注意：f（x） 只是兩個開區間 （- 0） 和 （0，+） 中的單調遞減函式。 ，但在整個定義的域中，它不是乙個單調遞減函式，因為如果你取 x1 0， x2 0，很明顯 x1 x2

然後 f（x1） 1 f（x2）。

因此，在整個定義域中，它不是乙個單調遞減函式，這就是為什麼你不能用定義方法證明它在整個定義域中的單調性。 此外，3 x 代表 x 的 3 次方，計算機不能將 x 放入上標中。

你是尖子生嗎？ 而且文字很美。