使用柯西不等式來證明問題大師

證明：2（a+b+c）[1 （a+b）+1 （b+c）+1 （c+a）]。

a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]

3[（a+b）（b+c）（c+a）] 1 3） 1 3）=9 除以兩邊的 （a+b+c）

得到 2 （a+b） +2 （b+c ）+2 （c+a） 9 （a+b+c）。

柯西不等式的一般證明如下： 柯西不等式的正式寫法是：記住兩列數字是 ai 和 bi，那麼就有了。

ai^2)∑bi^2)

∑aibi)^2.

我們做 f（x）。

(ai+xbi)^2(∑bi^2)

x^2+2(∑ai

bi)*x(∑ai^2)

然後我們知道有永恆。

f(x)≥0.

在二次函式沒有實根或只有乙個實根的條件下，δ=4*

aibi)^2-4

∑ai^2)

∑bi^2)≤0.

於是此舉走到了盡頭。

向量作為證明。

m=(a1,a2...an)

n=(b1,b2...bn)

mn=a1b1+a2b2+..anbn=(a1^+a2^+.An ） 1 2 乘以 （b1 +b2 +.）。bn） 1 2 倍 cosx

因為 cosx 小於或等於 0，所以：a1b1+a2b2+。ANBN 小於或等於 A1 + A2 +An ） 1 2 乘以 （b1 +b2 +.）。bn^)^1/2

這證明了不平等。 柯西不等式還有更多型別，但這裡只是兩種更常用的不等式。

麻煩的是，根據公式分配固定值（用x取消項），你應該能夠得出結論。

你的回答顯然在邏輯上沒有錯。

我們舉個最簡單的例子：b+1>=b，b<=1，是b+1恆大大大於1，顯然不一定。

您的主題： 分析：現在您正在使用 Cauchy，一步是相反的，因此我們不能在第一步中使用 Cauchy 不等式。

我是這樣做的：

第一步是因為yz<=（y 2+z 2） 2，zx<=（x 2+z 2） 2; xy<=(x^2+y^2)/2

在本例中，左側為“=2 3（sigma x 2 （y 2+z 2））））。

根據均勻性，非常序 x 2 + y 2 + z 2 = 1， x 2 = m， y 2 = n， z 2 = r

則 sigma x 2 （y 2 + z 2） = sigma （m （1-m）

根據f（x）=x（1-x）的凸性質，得到sigma（m（1-m）的最小值。

柯西不等式。

1^2+2^2)(x^2+y^2)≥(1*x+2*y)^2=(x+2y)^2=1

x^2+y^2≥1/5

而房東以後要注意x，y 0。

代入 x 得到 1+4y+5ysquare，當 y 取 2 5 時，最小值為 1 5

1 大於或等於 2xy 的 4x 平方 + y 平方

x+2y 大於或等於根數中 xy 的兩倍

這兩種形式都可以解決。

柯西不等式：對於向量 x，有 || = |x||y|當且僅當 x=y 等於 where。

它是向量 x 點乘以 y（也稱為內積、標量積、數量積等）。

ps：圖例中所謂的“乘積和平方<=平方和乘積”，其實就是上面的那個。

向量 x=（a，b，c） y=（b，c，a）。

然後 = ab+bc+ca

x|=(a^2+b^2+c^2)^ y|=(b^2+c^2+a^2)^

所以 ||= |x||y|

就是這樣|ab+bc+ca| <= [(a^2+b^2+c^2)^

因為是正數，所以可以直接去掉絕對值符號。 即 a + b + c ab + bc + ca

取等價為 （a，b，c）=（b，c，a） <=> a=b，b=c，c=a <=> a=b=c

PS：以上是3D向量的坐標運算，是高中時2D向量坐標運算的泛化。

附錄：1柯西不平等本質的直觀說明：

x||y|cosa a 是包含的角度。

所以顯然有|| = |x||y|

2.從 1 代入坐標運算，有“乘積和平方<=平方和乘積”。

也就是說，x=（x1，x2） y=（y1，y2） 可以通過二維解釋推廣到更高的維度。

= |x1y1+x2y2|

x||y|=[(x1)^2+(x2)^2]^ y1)^2+(y2)^2]^

<= |x||y|然後 |x1y1+x2y2|2 <=（x1） 2+（x2） 2][（y1） 2+（y2） 2]（即“乘積和平方<=平方和乘積”）。

3.Cauchy-Schwartz 是乙個嚴格的證明（在實際產品空間中的證明）。

2a+ a^2>= 0

所以把 a 想象成乙個未知數，右邊二次函式的開口是向上的，所以 delta 應該小於或等於 0

即 4 2-4<= 0

所以有|| = |x||y|

4.復內積空間的證明（略）。

方法同上，主要有a=co-choke。

PS：希望它能幫助你理解柯西的不等式。

全部開啟，不能直接使用柯西不等式。

a +b ）+1 a） +1 b） ]17 2 first（a +b） （1+1） within （a+b） =1 pushout（a +b） 1 2

現在只需要證明 （1 a） +1 b） 8 使用二容忍柯西不等式 （1+1）[（1 a） +1 b） ]1 a+1 b）。

向後 （1 a+1 b）（a+b） （1+1） =4 倒置，即可獲得 （1 a） +1 b） 8 個證書！！

希望它能啟發你，一定要按照等號 a=b=1 2 的條件使用柯西。

你必須使用柯西的不等式證明嗎？ A +b +c ab+bc+ca 在兩邊乘以 2 成為 （a-b） 2+（b-c） 2+（a-c） 2 0，並且當且僅當 a=b=c 時取“=”符號。

也可以使用柯西不等式，（a + b + c ） （b + c + c ） ab + bc + ca）。

實際上，在上面。 由於方法比較簡單，我只是提供一種使用柯西的方法，希望能給你一些啟發。