高等數學導數函式的極值和拐點

你的問題基本上是概念性的，如果你仔細看教科書，你應該沒有問題。 我給你乙個簡短的區分和解釋：

首先，極值點是乙個函式的區域性屬性，具體來說，如果將該點的函式值與該點的乙個小鄰域中的其他值進行比較，則取最大值或最小值，相應的最大值和最小值是相對的。 這個概念與函式本身的可導性無關。 但對於一般的可微函式來說，一階導數為零的點往往是乙個極值點，但它不是絕對的，例如f（x）=x 3，x=0就不是乙個極值點。

通常我們把 f'乙個 =0 的點稱為平穩點，極值點只有兩種情況，要麼是平穩點，要麼是不可導引點。 相反，它不是真的，非前導點或靜止點不一定是極值點。

其次，拐點是函式影象的凸凹性質（在一些教科書中稱為凸和凸）發生變化的點，因此稱為拐點，它與極值沒有本質關係，反映了兩種不同的數學性質。 與極值點類似，拐點由兩種型別的點組成：二階導數為零的點和二階導數不存在的點。

這兩個概念很容易混淆。

1）如果函式此時不是導數，那麼極值點和拐點可以相同，比如分段函式

當 x<0 時，f（x）=x2;

當 x 0 時，f（x） = x

x=0 既是極值點，也是拐點。

2）如果函式是可推導的，那麼拐點一定不能是極值點。判斷是極值點還是拐點的方法，只需要看一下它的1階、2階、3階即可。 第n階導數，看哪個導數不是0，假設直到第n階才是0，第乙個n-1階是0，那麼如果n是奇數，這就是拐點; 如果 n 是偶數，則這是極值。

極點和拐點之間沒有必然的聯絡。

例如，y=x 3，（0,0） 是拐點，但 x=0 不是極值點。

y=x 4，（0,0） 不是拐點，x=0 是最小點。

當函式圖上的乙個點使函式的二階導數為零，並且三階導數不為零時，該點就是函式的拐點。

極值點是函式影象子區間中最大點或最小點的橫坐標。 極值點必須出現在函式的靜止點（導數為 0 的點）或不可導數點處。

拐點不一定是極值，但極值點一定是拐點。

極值處的一階導數為0，一階導數描述原始函式的增減; 拐點處的二階導數為0，二階導數也描述了原始函式的增加或減少。

如果函式存在於該點及其域中，具有一階、二階和三階導數，則函式的一階導數為 0，二階導數不為 0 的點為極值點; 函式的二階導數為 0，三階導數不為 0 的點為拐點。 例如，y=x 4、x=0 是極值點，但不是拐點。 如果該點沒有導數，則需要進行實際判斷，例如 y=|x|，當導數不存在時，x=0 不存在，但 x=0 是函式的最小點。

這不是一本規範的教科書，“有序導數”的概念是由教學經驗不足的年輕教師編造的，應該是“有序的導數”。 成熟的老教師需要能夠承受吹毛求疵。

如果二階導數是連續的，或者它是三階可導數，則 [f（x） 的拐點為 f'（x）] 結論是正確的。

為了證明這個結論，沒有必要殺雞，根本沒有使用泰勒公式。

使用拉格朗日中值定理 f'(x)-f"(x0)=f"（ ）x-x0）。

f"（ ） 在左邊和右邊的鄰域中，x-x0 在左邊和右邊的鄰域中，f'(x)-f"(x0)=f"（ ）x-x0）不會改變符號，結論將被證明。

山路水橋。

不。 拐點：連續曲線的凹弧和凸弧之間的分界點，拐點處的二階導數函式值為0。 說明拐點的兩側必須是凹弧和凸弧。

二階導數函式的符號可以確定函式的凹凸弧，因此必須首先找到騷動函式的二階導數。

回報是指二階導數值為 0 的所有點;

然後圍繞這些點確定二階導數函式值的符號，如果左右符號相反且缺失，則該點就是拐點。 否則，它不是。

錯。 前者只是後者的必要條件，未必充分。

首先，該條件只說 f 是可導數，而不是說 f 是二階可導數。 f 可能在 x0， f 處取最大值'（x0） = 0，但 f''（x0） 不存在。 例如，如果函式 f（x）=（sgnx-2）*x 2 為 0。

其次，即使 f 是二階可導數，正如你所建議的，f 也可能在 x0 處取乙個最大值，並且 f'(x0)=f''（x0）=0。 例如，函式 f（x）=-x 4 位於 x=0。

當 f'(x0)=f''（x0）=0，如果 f 在 x0 處有更高的導數，則存在乙個標準判別式（這可能是 lz 所要求的）：

將 f 在 x0 處的 n 階導數表示為 f n（x0），如果 f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0, f_(k+1)(x0)≠0。統治。

1）當k為偶數時，x0不是極值;

2） 當 k 為奇數時，x0 是最大點，當且僅當 f （k+1）（x0） <0

請注意，（2） 中的前提是 f （k+1） （x0） ≠0。

至於證明，使用泰勒公式和皮亞諾餘數（擴散到 （K+1） 階）就足夠了。

雖然上述判別方法在大多數情況下就足夠了，但並不能解決所有情況！ 如果 f'(x0)=f''(x0)=…=f k（x0）=0 但 f （k+1）（x0） 不存在，這種判別方法自然會失敗。

此外，即使 f 在 x0 鄰域中隨時可導數，它也是......如果 x 0 處 f 的所有導數都為 0，那就很尷尬了請注意，這在實函式的情況下是可能的，其中 x 0 處 f 的導數為 0 並不意味著 f 是 x0 鄰域中的常數函式。 典型的例子是 f（x）=exp（-1 x 2），f（0） 定義為 0對於這樣的函式，上述判別器也失敗了。

總而言之，充分性是不對的。 在大多數情況下，極值點可以通過該點的導數值來判斷，但導數在某些奇怪的情況下不起作用......在這一點上，我們只能考慮從定義開始。 例如，如果可以證明拐點有t>0，x0-t，則通常可以將其作為極值點進行討論。 事實上，如果 f 在 x0 鄰域內是可推導的，那麼“x0 是 f 的拐點”等價於“x0 是 f”。'的極端點”。 因此，與極值類似，很難說拐點具有簡單的充分和必要條件，但上述判別方法仍然是乙個很好的準則。

此外，拐點首先看二階導數（討論 f'與F的車站沒有直接聯絡！

實際上，這並不難證明（lz 很感興趣，這是乙個很好的練習）：如果 f 的可導點既是嚴格的極值點又是拐點，那麼 f 只能是該點的乙個鄰域中的常數函式！ 如果去掉“嚴格”一詞，結論就變成了：

是此時左鄰居或右鄰居之一的常量函式。

讓我給你乙個簡短的答案。 f'（x）=0 稱為站; f''（x）=0 的點稱為拐點; f'確定曲線的方向（確定函式在某一段的增加或減少），f''決定開口的方向（也許叫凸性更合適，但開口的方向很容易理解）。

例如，函式位於某個點 f'（x0）=0，切 f'（x）<0 ， 當 x0， 當 x>x0; 然後圖可以判斷 xo 是最小點（類似於最大點）。

如果必須使用二階導數，則結論如下：函式在某個點 f'(x0)=0, f''（x0）<0（在 x0 處向下開啟），所以這個點是最大點。

f'（x0）=0 和 f''（x0）<0]我假設你的 x0 沒有出現在邊界上（例如區間 [a，b] 中的 a 是乙個邊界，如果它出現在邊界上，則該點只有乙個左導數或右倒數），並且你假設你的函式是導數，那麼我們將判斷 [f'（x0）=0 和 f''（x0）<0]可以推導出x0為最大點。

您可以參考數學分析、高等數學等。

綜上所述，對於導數函式，x0 為最大點的“充分必要條件”為 [f'（x0）=0 和 f''（x0）<0]這個結論是正確的。

我會為你簡化。

f'（x）=0 稱為站;

f''（x）=0 的點稱為拐點;

f'確定曲線的方向（確定函式在某一段的增加或減少），f''確定開孔方和空腔方向（也許叫凸凹更合適，但開孔方向容易理解）。

例如，函式位於某個點 f'（x0）=0，切 f'(x)<0

當 x0，當 x>x0; 然後圖可以判斷 xo 是最小點（類似於最大點）。

如果非要用二階導數來判斷，那麼結論如下：

該函式在某個點 f'(x0)=0,f''(x0)<0

在 x0 點向下開啟），所以該點是最大點。

f'（x0）=0 和 f''(x0)<0】

我假設你的 x0 沒有出現在邊界上（例如，[a，b] 區間中的 a 是乙個邊界，如果它出現在邊界上，則在那個點上只有乙個左導數或右倒數），並且你假設你的函式是導數，那麼 [f'（x0）=0 和 f''(x0)<0】

可以推出 x0 是最大點。

您可以參考：

數學分析、高等數學等

綜上所述，對於導數函式，x0 為最大點的“充分必要條件”為 [f'（x0）=0 和 f''（x0）<0]這個結論是正確的。

拐點和極值點通常不一樣。

正如你所說，兩者的定義是不同的。

極值處的一階導數為0，一階導數描述原函式的增減，拐點處的二階導數為0，二階導數描述原函式的凹凸性質。

沒有。

從影象中。

看，拐點是凹凸函式影象的分界點; 它可以通過二階導數確定！

拐點是曲線向上或向下方向發生變化的點，直觀地說，拐點是切線與曲線相交的點（即曲線的分界點）。

如果曲線圖的函式在拐點處有二階導數，則二階導數在拐點處不同（從正到負或從負到正）。