關於正交矩陣的問題，正交變換的矩陣是否必須是正交矩陣

解決方案：det|λe-a|=|λ-1 2 0|=(λ-2)(λ5)(λ1)=0

特徵值為 1=2、2=5、3=-1

對於特徵值 1=2，求解方程組 （2e-a） x=0。

2e-a=[1 2 0] [1 0 1 ]

它的基本解之一是 1=（-2,1,2） t，並將 1 單元化，得到屬於 1=2 的單位特徵向量 1=（-2 3,1 3,2 3） t

對於特徵值 2=5，求解方程組 （5e-a） x=0。

5e-a=[4 2 0] [1 0 -1/2]

其基本解之一為2=（1，-2,2） t並單元化2，得到屬於2=5的單位特徵向量1=（1 3，-2 3,2 3） t

對於特徵值 3=-1，求解方程組 （-e-a） x=0。

e-a=[-2 2 0] [1 0 -2]

它的基本解之一是 3=（2,2,1） t，並將 3 單元化，得到屬於 3=-1 的單位特徵向量 3=（2 3,2 3,1 3） t

所以 1、2、3 是 a 的正交化單元化特徵向量，即階矩陣。

q=[ 1， 2， 3]=[-2 3 1 3 2 3]，則 q 是所尋求的正交矩陣，並且有 q -1aq=q taq=[2 ]。

這很煩人，你知道步驟，對吧？

正交變換的矩陣必須是正交矩陣。 由於向量的模量長度和角度均由內積定義，因此正交變換前後一對向量的模量長度及其角度不變。 特別是，標準正交基在正交變換後仍然是標準正交基。

在有限維空間中，標準正交基下的正交變換矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也構成一組 v 的標準正交基。 因為正交矩陣的行列式只能是 +1 或 1，所以正交變換的行列式是 +1 或 1。

行列式為 +1 和 1 的正交變換分別稱為 1 類（對應於旋轉變換）和 2 類（對應於瑕疵旋轉變換）。 可以看出，歐幾里得空間中的正交變換只包含旋轉、反射和它們的組合（即有缺陷的旋轉）。

矩陣間正交是兩個向量正交，兩個向量正交表示它們的內積等於零，兩個向量的內積是它們對應分量的乘積之和。

幾何向量的概念在代數中被抽象出來，以獲得更一般的向量概念。 向量被定義為向量空間的元素，需要注意的是，這些抽象向量不一定由成對表示，大小和方向的概念也不適用。 在三維向量空間中，如果兩個向量的內積為零，則稱兩個向量為正交。

正交向量分析最早出現在三維空間中。 換句話說，兩個向量是正交的，這意味著它們彼此垂直。 如果向量與 正交，則表示為

1.正交a的充分和必要條件是a的行（列）向量群是單位正交向量群;

2.方陣a正交的充分必要條件是a的n行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基;

3.a為正交矩陣的充分和必要條件是：a的行向量群成對正交，是單位向量;

4.a的列向量群也是乙個正交單位向量群;

5.正交方陣是歐幾里得空間中從標準正交基到標準正交基的轉移矩陣。

正交矩陣是平方矩陣，行向量和列向量都是正交單位向量。

行向量都是正交單位向量，任意兩行與兩行點正交，結果為0，因為它們是單位向量，所以任何一行點乘以自己的結果都是1。

對於乙個3x3的正交矩陣，每一行都是乙個三維向量，兩個三維向量正交的幾何意義是兩個向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為乙個三維坐標系中的三個坐標軸，下面就是3 3正交矩陣m、x1、x2、x3、x軸y1、y2、y3、y軸z1、z2、z3、z軸。

單位矩陣表示的三個軸是笛卡爾坐標系中的 x、y 和 z 軸

1,0,0，x 軸0,1,0，y 軸0,0,1，z 軸。

乙個向量乘以乙個3x3的正交矩陣的幾何意義是將這個向量從當前坐標系變換成這個矩陣所表示的坐標系，例如，下面的矩陣m1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1，乙個向量（1,2,3）右乘以這個矩陣m1得到乙個新的向量（2,1,3），即原來的向量從原來的坐標系變換成新的坐標系。

新坐標系的x軸在原坐標系中為（0,1,0），即落在原坐標系的y軸上，新坐標系是將原坐標系的x軸和y軸反轉，所以正交矩陣m1作用在向量（1,2,3）上，然後反轉向量的x和y分量。

正交矩陣的定義，“行向量和列向量是正交單位向量”，帶來了另乙個好處：正交矩陣的轉置是正交矩陣的逆，這比求普通矩陣的逆要簡單得多。

讓我們解釋為什麼正交矩陣的轉置是正交矩陣的逆

或正交矩陣 m：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

每行都是乙個單位長度向量，因此每個行點乘以自身得到 1。

任意兩條線是正交的，結果為 0。

矩陣 M 的轉置矩陣 MT 為：

x1、y1、z1、x2、y2、z2、x3、y3、z3，兩個矩陣乘以 mmul m mt：

rowx rowx， rowx rowy， rowx rowz， rowy rowx， rowy rowy， rowy rowz， rowz rowx， rowz rowy， rowz rowz， point 乘以 1，點乘以其他行的結果為 0，因此 mmul 等於單位矩陣。

1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1，逆矩陣的定義是逆矩陣乘以原始矩陣等於單位矩陣，所以正交矩陣的轉置是正交矩陣的逆矩陣。

正交矩陣的定義是指轉置等於逆矩陣的矩陣，性質為逆矩陣和正交矩陣，乘積也是正交矩陣。

詳情如下：

如果 AAT=E（E 是單位矩陣，AT 表示“矩陣 A 的轉置矩陣”）或 ATA=E，則 n 階實數矩陣 A 稱為正交矩。 正交矩陣是專門研究實數的酉矩陣，因此始終屬於正則矩陣。 雖然我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可以用於元素來自任何域的矩陣。

畢竟，正交矩陣是從內積自然派生而來的，因此對於複數矩陣，這導致了歸一化要求。 正交矩陣不一定是實數矩陣。 實正交矩陣（即正交矩陣中的所有元素都是實數）可以看作是一種特殊的酉矩陣，但也存在復正交矩陣，它不是酉矩陣。

身份變換是將乙個解析公式變成另乙個具有其身份的分析公式 身份變換的使用往往是在遇到的問題比較複雜、難以上手的時候，通過身份變換把要解決的問題簡化，從未知到已知，最後解決問題。

無論維度如何，總是可以將正交矩陣歸類為純旋轉或不旋轉，但對於 3 3 個矩陣和更高維矩陣，它比反射要複雜得多。 例如，它表示原點的反轉和相對於 z 軸的旋轉反轉（逆時針旋轉 90° 後在 x-y 平面中的反射，或逆時針旋轉 270° 後反轉到原點）。

輪換也變得更加複雜; 它們不再由單個角來描繪，並且可能會影響多個平面子空間。 儘管 3-3 旋轉矩陣通常用軸和角度來描述，但該維度中旋轉軸的存在本質上是偶然的，不適用於手動的其他維度。 但是，通常適用的基本構建塊（如位移、反射和旋轉）可以滿足這些條件。

什麼是正交矩陣。

滿足公式的矩陣是正交矩陣，那麼正交矩陣有什麼特性呢？

然後表示由行向量組成的矩陣。

根據公式，可以知道。

因此是乙個單位向量。

因此與 正交。

結論：正交矩陣波束中的行（列）向量是正交單位向量。