羅巴切夫斯基幾何的雙曲幾何模型

黎曼幾何以歐幾里得幾何和各種非歐幾里得幾何為特例。 例如，如果定義度量（a 是常數），則當 0 是普通歐幾里得幾何時，當 0 是橢圓幾何時，當 0 是雙曲幾何時（羅巴切夫斯基幾何）。

黎曼將表面本身視為乙個獨立的幾何實體，而不僅僅是歐幾里得空間中的幾何實體。 他首先發展了空間的概念，提出幾何的物件應該是乙個多重性廣義量，空間中的點可以是n個實數（x1,......xn） 作為坐標。這是現代n維微分流形的原始形式，為在抽象空間中描述自然現象奠定了基礎。

此空間幾何應基於無限相鄰的兩點 （x1， x2,......xn） 和 （x1 dx1,......xn dxn），由由微分弧長度的平方確定的正定二次形式測量。也就是說，（gij）是由函式組成的正定對稱矩陣。 這是黎曼度量。

黎曼認識到，度量只是新增到流形中的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。 黎曼之前的數學家只知道在三維歐幾里得空間e3的曲面上有乙個誘導度量ds2 edu2 2fdudv gdv2，即第一初等形式，但沒有意識到s也可以有乙個獨立於三維歐幾里得幾何的度量結構。 黎曼意識到區分誘導和獨立黎曼度量的重要性，從而擺脫了僅限於誘導度量的經典微分幾何表面理論的束縛，並創立了黎曼幾何。

不涉及平行公理的幾何命題在歐幾里得幾何中也是正確的，因為它們在雙曲幾何中也是正確的。 依賴於平行公理的命題在雙曲幾何中不成立。 以下是一些示例：

歐幾里得幾何：同一條直線的垂直線和對角線相交。

垂直於同一條線的兩條線是平行的。

存在相似但不全等的多邊形。

可以跨越不在同一條線上的三個點，並且只能繞乙個圓圈。

雙曲幾何：同一條直線的垂直線和對角線不一定相交。

兩條垂直於同一條直線的直線，當兩端延伸時，離散到無窮大。 沒有相似但不全等的多邊形。

穿過不在同一條直線上的三個點不一定能形成乙個圓。

從上面列出的德羅切夫斯基幾何學的一些命題可以看出，這些命題與我們習慣的直覺相矛盾。 因此，羅巴切夫斯基幾何中的一些幾何事實並不像歐幾里得幾何那樣容易被接受。 然而，通過對我們習慣的歐幾里得幾何中的事實進行直觀的“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。

雙曲幾何，也稱為羅巴切夫斯基幾何、波利亞-羅巴切夫斯基幾何或羅氏幾何，是一種獨立於歐幾里得幾何的幾何公理系統。 雙曲幾何的公理化系統與歐幾里得幾何的公理系統的不同之處在於，“歐幾里得幾何的第五公理”（也稱為平行公理，相當於“在直線外的一點上只有一條平行於已知直線的直線”）被“雙曲平行公理”（相當於“在直線外的一點上至少有兩條平行於已知直線的直線”）所取代行“）。在這個公理體系中，一系列不同於歐幾里得幾何內容的新幾何命題可以通過演繹推理來證明，例如三角形的內角和小於 180 度。

羅巴切夫斯基幾何是一種非歐洲襪子幾何。 銀爭奪 （）。

a.沒錯。 b.錯誤。

正確答案：a