求序列 n 1 1 n 1n 2n 1 3n 的總和

結果：<>

解決問題的過程如下：

系列 n 1 （？1)n?1n(2n?1） 3n 和級數 n 的總和 1 xln（3？x)，x∈[-3，3]．

解決方案 s（1 3） 3 9 ？2ln2+ln3．：

介紹冪級數 n 1 （？1)n?1 n(2n?1) x2n （.x . 1）

因此，設 s（x） = n 1 （？.）1)n?1 n(2n?1） x2n，則 s（1 3 ）=

n＝1 ?1)n?1

n(2n?1)3n

s″（x）=22

n＝1 (?1)n?1x2n?1＝2

n＝1 ?x2)n?1＝2 1+x2 （.x .＜1）

結合 s（0）=0，s（0）=0，所以 s（x）=2arctanx，則積分有。

s（x）=2

x0 arctantdt=2[arctanx-∫ x0 t 1+t2 dt]

2xarctanx-ln（1+t2）| x0

2xarctanx-ln（1+x2）（x2＜1）．

因此，級數 n 1 xln（3？x)，x∈[-3，3]．

電源系列介紹

n＝1n?1n(2n?1)x2n

x，所以 s（x）=

n＝1n?1n(2n?1)x2n

則 s（1> n 1

n?1n(2n?1)n

s″x）=22∞

n＝1n?1x2n?1

n＝1?xn?11+x

x 共軛 s（0）=0，s

0）=0，所以 s（x）=2arctanx，然後積分有。

s（x）=2∫x

arctantdt

2[arctanx-∫x

t1+tdt2xarctanx-ln（1+t2

x2xarctanx-ln（1+x2（x2

因此，s（12LN2+LN3

我們認為 n 是從 0 到無窮大。

解：設 f（x） = （（1） n （2n+1））x （2n+1），則：f'（x）= （（x 2） n=1 （1+x 2）， （x|<1)

所以：f（x）=arctanx，當x=1時，序列交錯並仍然收斂，所以f（x）=arctanx，（|x|《1)

設 x=1 得到：（1） n （2n+1）=f（1）=arctan1= 4

(-1)^n/(2n+1)=(-1)^n*(1)^(2n+1)/(2n+1)

設 s（x） = （-1） n*x （2n+1） （2n+1）s'(x)=(∑(1)^n*x^(2n+1)/(2n+1))'=∑[(1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)]'=∑(-1)^n*x^2n=(-x^2)^n

1 （1+x 2） （比例序列的總和）。

所以 s（x） = 1 （1+x 2）dx=arctanx，所以 （-1） n （2n+1）=s（1）=arctan1= 4，我數 n=0 到 n=

1 （2N 1x1）-1 （3NX1）。

n [（2n 12 月 1 日） （3n 12 月 1 日）]。

所以。 1 [（2n ten 1） （3n ten 1）]。

1 N （2N 12月1日） - 1 N （3N 12月1日）.

2 [1 2n-1 （2n dec. 1）]-3 [1 3n-1 （3n dec. 1）]1 n-2 （2n dec. 1）-1 n dec. 3 （3n dec. 1）3 （3n dec. 1）-2 （2n 10-1）。

由於 （n>=1）[（2n-1） （2 n）] n>=1）[n2 （n-1）]。

n>=1）[（1 2） n]， 而.

n>=1）[（1 2） n]，用於尋找。(n>=1)[n/2^(n-1)]

，做電源系列。

f（x）（n>=1）[n（x 2） （n-1）]，利用逐項積分定理，得到g（x）

0,x]f(t)dt

n>=1）n [0，x][（t 2） （n-1）]dt2 （n>=1）[（x 2） n]，導數，得到。

f（x）。

f(x)…，從中可以獲得。

n>=1)[n/2^(n-1)]

1. 這個問題的答案是：

a. 首先尋求指導; 然後，b，然後利用小於 1 的公共比率

無窮項的比例序列求和的公式; 最後，c.重新整合，並得到答案。

2.以這種方式解決問題的想法是：

在收斂域內，乙個無窮級數嚴格等於乙個函式，這個函式就是和函式。

因為它們是嚴格相等的，所以，同時，導數不影響它們的等價性;

同時，定積分不影響它們的同一性。

有了以上的想法，尋求所有導數然後整合，再整合它們是合乎邏輯的。

3、具體解答如下：

∑（∞n→0）(2n+1)x^n

r=lim|2n-1/2n+1|=1

（ n 0）2n+1） 在 x=1 時發散，（ n 0）（-1） n（2n+1） 在 x=-1 時也發散，因此收斂域為 （-1,1）。

設 s（x） = （ n 0）（2n+1）x n= （ n 1）2nx n+ （n 0）x n

重新排序 （ n 1）2nx n=s1（x）。

s1(x)=2x∑（∞n→1）nx^(n-1)

2x∑（∞n→1）(x^n)'

2x(∑（n→1）x^n)'

2x[x/(1-x)]'

2x/(1-x)^2

和 （ n 0）x n=1 （1-x）。

所以 s（x）=2x（1-x） 2+1 （1-x）=（1+x） （1-x） 2

， n 0）（2n+1）x n=（1+x） （1-x） 2， x 屬於 （-1,1）。

-1） n （2n+1） = （1） n*（1） （2n+1） （2n+1） 設 s（x） = 1） n*x （2n+1） （2n+1）s'(x)=(1)^n*x^(2n+1)/(2n+1))'1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)]'1） n*x 2n=（-x 2） n=1 （1+x 2） （比例序列之和） 所以 s（x） = 1 （1+x ..）。

設 s（x）= x （2n）] 2n+1） 將兩邊相乘 xxs（x） = x （2n+1）] 2n+1） 是時間的導數。

xs（x）） = x 2n = 1 （1-x 2），然後兩者分開並猛拉回來。

xs（x） 1 （1-x 2）ln[（1+x） 分支與飢餓 （1-x）]。

s（x）=（1 2x）ln[（1+x） （1-x）] x 不是 01 x 0 設 x=（根數 2） 2 代入 s（x） 就是 s（x） 是 s。