P點在曲線上y 1 2ex倍，Q在y ln（2x）上，PQ的最小值是多少

解：函式 y=1 2e x 和函式 y=ln（2x） 是彼此的逆函式，影象相對於 y=x 是對稱的。

從函式 y=1 2e x 上的點 p（x，1 2 e x） 到直線 y=x 的距離為 d=|1/2e^x-x|/ √2

設 g（x）=1 2 e x-x， （x 0） 則 g （x）=1 2 e x-1

從 g （x） = 1 2 e x-1 0 我們得到 x ln2 和 g （x） = 12 e x-1 0 得到 0 x ln2

函式 g（x） 在 （0，ln2） 處單調減小，在 [ln2，+.

當 x=ln2 時，函式 g（x）min=1-ln2

dmin=(1-ln2)/ √2

從影象對稱性來看，y=x： |pq|最小值為 2dmin=2 （1-ln2）。

設點 P （a， （1 2）e a） 和點 Q 坐標 （b， ln（2b）） 的坐標。

pq=（a-b）^2 + 1/2)e^a-ln(2b))^2=f(a,b)

f'a(a,b)=2(a-b)+2((1/2)e^a-ln(2b))(1/2)e^a=0

f'b(a,b)= -2(a-b)-2((1/2)e^a-ln(2b))/b=0

兩個方程相加得到 （（1 2）e a-ln（2b））（1 2）e a-1 b）=0;

同時，得到a=b;

因此 pq=（1， 2）e-a-ln（2a）=g（a）。

g'(a)=(1/2)e^a -1/a=0; a=。

引入公式來計算 pq 的最小距離。

y=ln（x-1） 和 y=e x+1 是彼此的反函式，即它們相對於 y=x 是對稱的，如下所示：

y=-x 與它們相交，當相交處的切斜率等於 1 時，交點之間的純距離最小。

所以y'=1/(x-1)=1 y'=e x=1 產量： x=2 x=0

所以 |pq|謹慎的最小值是 （2 2 + 2 2），q 是 （0 2），謹慎的最小值是 （2 2 + 2 2） = 2 2

上面的朋友計算錯誤 - 你最終將 x 2 變成了 x ......地板主題在 y=x 2+2 上也被錯誤地鍵入了 p，因此 p，q 是彼此的反函式的直線，大約 y=x 對稱性，只需要乙個指向 y=x 的最短距離並將其乘以 2 即可設定 q（x， （x-2）） y=x d=|x-√(x-2)|2、然後分子由上面的朋友以精確的平坦方式寫成，（ x-2）-1 2） 2+7 4 2+7 4 2=7* 2 8 2d=7* 2 4 是所尋求的。

[注：結論：。

設 p， q 是兩條不相交曲線上的兩個移動點。

當穿過這兩點的兩條曲線的法線重合時，|pq|最小。 解：p（a， （e a） 2，） q（b， ln（2b）） 很容易知道

在點 p 處曲線 y=（e x） 2 的正態方程為：y=[-2 （e a）]x+[2a （e a）]+e a） 2]。

在點 q 處曲線 y=ln（2x） 的正態方程為：y=-cx+c +ln（2c）

從以上結論可以得到比較：

c=2/(e^a)

c +ln（2c）=[2a （e a）]+e a） 2] 求解： c=1， a=ln2

p(ln2, 1), q(1,ln2)∴|pq|min=√[(1-ln2)²+1-ln2)²]=(1-ln2)√2.

兩條曲線是彼此的逆函式，也就是說，相對於 y=x 對稱性，使兩條曲線的切線平行於 y=x，並且兩條切線之間的距離是最小的。

使兩條曲線的切線平行於 y=x，兩條切線之間的距離是最小值。 這種說法是錯誤的。

導數為 y=1 2e x y=1 x

相等時，斜率不等於 1

應該使用 |pq|求 |當它垂直於 y=x 時pq|最小值。

設點 P （a，（1 2）e a） 的坐標和點 Q 的點坐標 （b，ln（2b））Pq=（a-b） 2

1/2)e^a-ln(2b))^2=f(a,b)f'a(a,b)=2(a-b)+2((1/2)e^a-ln(2b))(1/2)e^a=0

f'b(a,b)=

2（a-b）-2（（1 2）e a-ln（2b）） b=0 得到 （（1 2）e a-ln（2b））（1 2）e a-1 b）=0;

同時，得到a=b;

因此 pq=（1， 2）e， a-ln（2a）=g（a）g'(a)=(1/2)e^a

1/a=0;

a=。引入公式來計算 pq 的最小距離。