正整數冪求和公式的推導，冪函式求和的公式

問題：對於 k n，從 1 累積到 m，求解。

顯然，高斯已經求解了一次冪（自然數之和），實際上，一冪可以簡化為 0 的冪（即 1）。

降冪：對於k n，我們想把它分成兩部分，只能是k（n+1）-（k-1）（n+1），公式被二次項定理用完後，冪n+1會抵消掉，包含k n的項求解為x，大概是k n=（k （n+1）-（k-1） （n+1）+n（n-1）k （n-1）+....將這個等式的兩邊相加得到 k n=m （n+1）-（1-1） （n+1）+....省略號表示的部分也是乙個加法，但與原始部分相比呈指數級增長。

對於任何階次的冪，可以通過將冪連續減小到 0 或 1 來解決該問題。

如果我們從 j 到 i 相加，那麼我們可以先找到從 1 到 i 的總和，然後從 1 到 j 減去總和。

k=1。 sn=n(n+1)/2

k=2。 sn=n（n+1）（2n+1） 6k=3. sn=[n(n+1)]^2/4

k=2 的 sn 表示式由 k=1 的表示式推導而來，k=3 的 sn 表示式推導自 k=2 的表示式。 也就是說，我們現在知道了 k=1 處的表示式，並且我們知道了 k=m 和 k=m-1 表示式（遞迴）之間的關係，因此我們可以知道 kn 的所有表示式。

但到目前為止，我還沒有看到 SN 關於 k 的一般公式。

這個一般公式可能存在，也可能不存在。

如果你必須知道一般公式，只需用公式 k=1,2,3 猜測，並通過數學歸納法證明。

冪函式的總和公式為：s=n+（n-1）+（n-2）+如圖1所示，所有新增的二項式公式均根據以下二項式公式確定，這樣就可以順利地進行從1到n次方的自然數求和公式的漸進推導。

推導過程：二項式定理的公式可以轉化為一系列相等的差分，從低冪到高冪，最後可以推導出李山蘭自然冪求和公式的原始形式。

當 n 為奇數時，由 1+2+3+ 確定。n 和 s = n + （n-1） + （n-2） +1 總結：

2s=n+[1+(n-1)]+2+(n-2)]+3+(n-3)]+n-1)+(n-n-1)]+n=n+n+n+..n 加或減所有新增的二項式公式 = （1+n）n 減去所有新增的二項式公式。

當 n 為偶數時，由 1+2+3+ 確定。n 和 s = n + （n-1） + （n-2） +1 總結：

2s=n+[1+(n-1)]+2+(n-2)]+3+(n-3)]+n-1)+(n-n-1)]+n=2n+2[(n-2)+(n-4)+(n-6)+.0 或 1] 加上或減去所有新增的二項式數。

當 n 為偶數時，由 1+2+3+ 確定。n 和 s = n + （n-1） + （n-2） +1 總結：

2s=[n+1]+[n-1)+2]+[n-2)+3]+.n-n-1)+(n-1)]=2[(n-1)+(n-3)+(n-5)+.0 或 1] 將所有新增的二項式公式相加或相減，當 n 為偶數時，將 2s 的兩個計算組合在一起，我們得到 s=n+（n-1）+（n-2）+

一、

首先，這是乙個冪級數，而不是乙個冪函式; 其次，有乙個冪級數的公式，n從0到x的和函式是1 1-x，不知道大家有沒有聽說過。 問題中的 n 從 1 開始，這是公式，刪除了第一項。 並且根據收斂級數的基本性質，可以確定我所說的級數的公式可以設定，剩下的n個邊將分別求其和，這樣就可以證明。

f=∑(t=1,i) at(1+i)^(n-t)=a[ (1+i)^(n-1)+…1+i)^1+(1+i)^0 ]

使用比例求和方程：sn=a1*（1-q n） （1-q），其中 a1 是第一項，q 是公共比率。

a * 1*[ 1-(1+i)^n ] / [1-(1+i)]=a * 1+i)^n-1]/i

如果您不明白，請詢問。