高一數學競賽題目，高階碩士，數學。 高。 奧林匹克競賽問題。 一位偉大的大師

a^4+b^4

a^2+b^2)^2-2a^2*b^2

a+b)^2-2ab]^2-2a^2*b^2(1-2ab)^2-2a^2*b^2

1+2a^2b^2-4ab

2(ab-1)^2-1

因為 a+b=1 a>0， b>0

所以 ab<=[（a+b） 2] 2=1 4，所以當 4+b 4 的最小值為 ab=1 4 時，a 4+b 4=2（ab-1） 2-1=1 8

所以 2x 2-x+a 4+b 4>=2x 2-x+1 8，因為 2x 2-x+1 8=2（x-1 4） 2>=0 適用於任何實數 x。

所以 2x 2-x+a 4+b 4>=2x 2-x+1 8>=0 適用於任何實數 x。

所有實數的平方 （a+b） = 4ab 1>=16a 平方 * b 平方 0<=a 平方 b 平方< = 1 16 有 x 方程解 （2x 平方-x+1） 6>=a 平方 b 平方 （2x 平方-x+1） 6>= 1 16 16x 平方-8x=5>=0 威懾<0 x 軸上方的拋物線是整個實數。

求解兩個根，x應該大於大根或小於小根。

1）解：二次函式滿足f（x+1）-f（x）=2x虛和a（x+1）+b（x+1）+c-（ax +bx+c）=2ax+a+b=2x

也就是說，2a=2，a+b=0

a=1，b=-1

和 f（0）=1

也就是說，值得將 c = 1 代入 a、b、c。

f(x)=x²-x+1

2） 解：不等式 f（x）>2x+m 化簡：

x²-3x+1>m

因為任何 x 都屬於 [-1; 1]，不等式 f（x）>2x+m 常數差凝視。

f（x） 是 x [-1,1] 處的減法函式。

因此，如果不平等是恆定的。

即 f（1）-3x1>m

解決方案：m<-1

數學歸納法。

或 [sina + sin （a + b） + sin （a + 2b） + .]sin(a+nb)]sin(b/2)

sinasin(b/2)+sin(a+b)sin(b/2)+sin(a+2b)sinb/2)+.sin(a+nb)sin(b/2)

-1/2)[cos(a+b/2)-cos(a-b/2)+cos(a+3b/2)-cos(a+b/2)+.cos(a+(2n+1)b/2)-cos(a+(2n-1)b/2)

-1/2)[cos(a+(2n+1)b/2)-cos(a-b/2)]

sin(a+nb/2)sin(n+1)b/2

即新浪 + 罪 （a + b） + 罪 （a + 2b） +sin(a+nb)=sin(a+ab/2)sin[(n+1)b/2]/sin(b/2)

給出乙個方法，使用數學歸納法。

設 x1=k（x2+x3+x4）。

1 3 （x2 + x3 + x4） < = x1< = x2 + x3 + x4 然後 1 3< = k< = 1

原始不等式變形為。

1+k)^2(x2+x3+x4)^2<=4k(x2+x3+x4)x2x3x4

1+k)^2/4k](x2+x3+x4)<=x2x3x4①[(1+k)^2/4k](x2+x3+x4)<=[(1+k)^2/4k](x2+x2+x2)=[(1+k)^2/4k]*3x2

x2x3x4>=2*2*x2=4x2

成立證明只需要證明。

1+k)^2/4k]*3x2<=4x21/4(k+1/k+2)*3<=4

因為 f（x）=x+1 x 是 [1 3,1] 上的減法函式，1 4（k+1 k+2）*3<=（1 4）*（1 3+3+2）*3=4

因此 （x1+x2+x3+x4） 2<=4x1x2x3x4

y^2+ay+b =2x^2+2x+c

>c=y^2+ay+b -(2x^2+2x)

只需要證明 y 2+ay+b -（2x 2+2x） 不能取 x，y z 處的所有整數。

也就是說，它證明了 y 2+ay -（2x 2+2x） 不能取 x， y z 處的所有整數。

也就是說，很明顯 （y+1）（y+（a-1））-2 x（x+1） 不能取所有整數。

顯然，如果a是奇數，則（y+1）（y+（a-1））-2 x（x+1）始終為偶數，這顯然滿足了標題中的結論。

如果 a 是偶數，您可能希望設定 a=2k，即 y 2 +2ky -2 x（x+1）=（y+k） 2 -2x（x+1）-k 2

在這種情況下，足以解釋 （y+k） 2 -2x（x+1） 不能取所有整數。

現在反結論是無效的，即對於任何整數 t=（y+k） 2 -2x（x+1） 有乙個解，即對於任何整數 t，總有乙個整數 x，所以 t+2x（x+1） 是乙個平方數。

現在假設 t=4m+3，那麼對於不定方程 4m+3+2x（x+1）=r 2，很明顯 r 是乙個奇數。

假設 r=2s+1，我們得到 4m+2=4s（s+1）-2x（x+1）。

左邊除以 4 和 2，右邊是 4 的倍數，這是對這個不定方程的誤解。

因此，原來的結論是有效的。

可以看作是兩條拋物線，2x 2的開口更大，所以只要假設M2的最低點正好在M1的最低點下面，那麼兩者就永遠不會相交，也就是說，對於任何乙個A和B，總能找到C，這樣“M2的最低點就在M1的最低點的正下方”， 可以滿足條件。