不要用數學歸納法來證明或推導1平方、2平方、n平方的公式

1^2+2^2+3^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用三次方差公式。

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

n^2+(n-1)^2+n^2-n

2*n^2+(n-1)^2-n

所以：2 3-1 3=2*2 2+1 2-2

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

上 （n-1） 方程之和：

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+..n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6

n 3-（n-1） 3=n 2+n（n-1）+（n-1） 2 加起來。

n 3-1 = 3 （1 平方 + 2 平方 + ..）n平方）-n 2-1-（1+2+..n)

一旦你理清了這個方程式，你就可以開始了。

應該有七八種方法可以做到這一點。

它也可以用大學的知識來完成。 （參見《數值分析》一書）。

如果 n=k，則為真

即 1 2 + 2 2 + 3 + ......k^2=k(k+1)(2k+1)/6

n=k+1。

1^2+2^2+3^3+……k^2+(k+1)^2

k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2

k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6

k+1)[2k^2+7k+6]/6

k+1)(k+2)(2k+3)/6

k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6

1 是平方 + 2 是平方 + 3 是平方 + ....+n 平方 = n（n+1）（2n+1） 6

簡介數學歸納法（MI）是一種數學證明方法，通常用於證明給定命題作為乙個整體（或部分）在自然數範圍內成立。

除了自然數之外，廣義的數學歸納法也可以用來證明一般的善基結構，例如集合論中的樹。 這種廣義的數學歸納法應用於數理邏輯和電腦科學領域，稱為結構歸納法。

在數論中，數學歸納是乙個數學定理，它以不同的方式證明任何給定的情況都是正確的（第一種、第二種、第三種等等）。

n=1 左=1 右=1*2*3 6=1 左等於右 True。

如果 n=k，則為真

即 1 2 + 2 2 + 3 + ......k 2 = k （k + 1） （2k + 1） 6n = k + 1。

1^2+2^2+3^3+……k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6=(k+1)[2k^2+7k+6]/6

k+1)(k+2)(2k+3)/6

k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1] 6 也成立，所以 1 平方 + 2 平方 + 3 平方 +....+n 平方 = n（n+1）（2n+1） 6

數學歸納法。

當 n=1 且等式右側 = 1*2*3 6=1 時，當 n=k 時假設為真。

1^2+2^2……+k 2=k（k+1）（2k+1） 6 為真，則 n=k+1。

等式的左邊 = 1 2 + 2 2 + ......k^2+(k+1)^2=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2=(k+1)[2k^2+k+6(k+1)]/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6

k+1)(k+2)(2k+3)/6

當 n=k+1 時，等式的右邊 = （k+1）（k+2）（2k+3） 6，左邊都 = 右邊。

因此，當 n=k+1 時，該方程也成立。

因此，當 n 是任何正整數時，方程成立。

首先證明乙個定理：

1x2+2x3+3x4+、、nx(n+1）=(1/3)(1*2*3-0*1*2)+(1/3)(2*3*4-1*2*3)+(1/3)(3*4*5-2*3*4)+.1/3)[n*(n+1)(n+3)-(n-1)*n*(n+1)]

1/3)[n(n+1)(n+2)-0]=n(n+1)(n+2)/3 。。還有另乙個求和公式。

1+2+3+..n=n(n+1)/2。。。

好的，現在 +

開門見山。1 平方 + 2 平方 + 3 平方 + ...+n 平方 = n（n+1）（2n+1） 6

數學歸納是乙個三步過程，1，n=1 的驗證為真。

2. 假設 n=k 為真。

3. 驗證 n=k+1 是否為 true。

則對所有 n 都為真。

所以步驟如下：

1、當n=1時，（1+1）2=2 2=4,1 2+2*1+1=4，（1+1）2=1 2+2*1+1，成立。

2.假設n=k，則飢餓有（k+1）2=k 2+2k+13，當模仿差n=k+1時，[（k+1）+1] 2=（k+2）*（k+2）=k 2+4k+4

k^2+2k+1)+(2k+2)+1

k+1)^2+2(k+1)+1

因此，對於任何正整數 n，有 （n+1） 2=n 2+2n+1 true。

當 n2=5 時，它應該是 n>=5

即痕量敏感的 K 20

所以 k 2 > Kyung Lee 2k + 1

所以 2 k>k 2>2k+1

姿態差異為2k+1-2k

數學歸納法。

當 n=1 且等式右側 = 1*2*3 6=1 時，當 n=k 時假設為真。

1^2+2^2……+k 2=k（k+1）（2k+1） 6 為真，則 n=k+1。

等式的左邊 = 1 2 + 2 2 + ......k^2+(k+1)^2=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2=(k+1)[2k^2+k+6(k+1)]/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6

k+1)(k+2)(2k+3)/6

當 n=k+1 時，等式的右邊 = （k+1）（k+2）（2k+3） 6，左邊都 = 右邊。

因此，當 n=k+1 時，該方程也成立。

因此，當 n 是任何正整數時，方程成立。

n=1 左=1 平方=1 右=1（1+1）（2*1+1） 6 =1 左=右。

n=2 左 = 1 平方 + 2 平方 = 5 右 = 2 （2 + 1） （2*2 + 1） 6 =5 左 = 右

n=3 左 = 1 平方 + 2 平方 + 3 平方 = 14 右 = 3 （3 + 1） （2*3 + 1） 6 = 14 左 = 右。

n=n 左 = 1 平方 + 2 平方 + 3 平方 + ....+n 平方右 = n（n+1）（2n+1） 6

左加右減得到左=右。