有沒有乙個實函式在非理性點上是不連續的，在有理點上是連續的？

這是乙個經典的問題，結論是不可能的。 我只是在想這個問題，所以我積累了一些資訊：-）與 LZ 分享

本書第一章“Borel Sets”部分的示例 11 和 13 共同支援這一結論。 前者說開集上函式的連續點集合是gδ集合，後者說有理數集合不是gδ集合（實際上可數集合不是gδ集合），兩者可以組合。 此外，還可以通過使用拜爾定理來證明。

也有基本方法（當然，實數連續性是必要的），但過程更長。 例如，這個問題可以用拜爾定理的思想來證明。 讓我們為 LZ 提供參考 示例 2 是 LZ 的問題，其中給出了乙個更基本的證明（第 3 頁到第 4 頁）。

如果是一般函式，就很難得到，因為一般函式是連續的，但特殊分段函式還是可以的，只要定義場合理。

例如，f（x）=1（x是有理數）和=0（x是有理數）是乙個非常特殊的例子，它在有理數領域是連續的，但在實數領域不是。 說無理數領域存在不連續性有點奇怪，但我在實數領域理解這一點。

不存在。 因為根據連續性的定義，在x接近乙個有理點的過程中，如果它以一系列無理點接近該點，則沒有限制。

有理數，最常見的例子是整數和有限小數。 整數是可以用手指計數的數字。 2 3 4 5 1234 456 12341234 88888888 這個有限小數是可以完全寫在小數點之後的數字。

例如。

所有有理數都可以表示為自然數。

以及另乙個自然數的比值，即 q=p q

有理數和有理數可以完整列出嗎？ 還行。 例如，在 和兩個有理數之間，必須有另乙個有理數，依此類推。

無理數。 乙個例子是，圓周率。

pi=你以後可能會忘記它。

有理數是整數（正整數。

0，負整數）和分數，是懺悔中的整數和分數的集合。

整數也可以看作是分母。

是一的零頭。 非有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是非迴圈的無窮數。 它是“數與代數”領域的重要內容之一，在現實生活中有著廣泛的應用，是繼續學習實數和代數公式。

方沛棚，不等式，笛卡爾坐標系。

函式學、統計學等數學學科及相關學科基礎知識。

有理數集可以用大寫的黑色正字法符號 q 表示。 但 q 並不表示有理數，一組有理數和有理數是兩個不同的概念。 有理數集是一組都是有理數的元素，而有理數是有理數集中所有元素的集合。

呵呵：這並不容易。

證明1：有理數是可數的，例如，p q等價於自然數的集合，所以數相等; 都是可數的，即離散分布在數軸上，因此有理數存在離散不連續性。

而上霍爾在基閉數軸上的前應答點是連續的，所以r-q是連續的。

有理數是有序的，但無理數是有序的。 換句話說，絕對的總是有限的，非絕對的總是無限的。

你如何用數字定義一組原子核中的連續？ 如果像一樓說的缺前挖，那麼頂多只能說是有理數，所以就是所謂的“順序”，具體數法就是康托爾對角線法。 無理數不能計數，有很多方法可以使用反論證方法，例如二進位構造方法。

但是，非基本數並不意味著無理數是無序的。 一般的數集和小於關係構成了乙個完全有序的集合，怎麼能說它是無序的呢？ 順便說一句，有理數和無理數是密集且無限的。

這種說法應該只在概率論中做出。

成立。 可以證明有理點在數線上。

有零的幾率，將任何一點作為無理點的幾率為 1

但是數學有幾十個分支，所以推理理論在其他分支中是不正確的。

首先，有理點的不連續性是可以證明的，但是非理性點是連續的嗎？

集合論。 該公司的創始人康托爾提出了著名的康托爾猜想：在兩個連續的電位之間沒有其他電位。

1963年，美國數學家科恩證明了這個猜想是獨立於集合論系統的。 也就是說，這個猜想永遠無法被證明。

所以無理數。

連續性問題就像幾何學的第五公理和集合論中的選擇公理---既不能證明也不能反駁。

換句話說，在集合論中，定義無理數的連續性不會導致矛盾，定義不連續性也不會導致矛盾。 因此，它表明概率論中證明的結果在集合論中並不成立。

因為有人在討論東橋時問過，所以想做乙個補充解釋。

首先，解釋一下什麼是“多”。 有理數和無理數不相等，即無法建立一對一的對應關係。 如果兩個集合可以建立一對一的對應關係，則稱它們相等（即“同樣多”）。

無限集合的等價性在直覺上可能不同，因為有限集合的等價性，例如，整數和偶數可以一對一對應（n 對應於 2n），因此它們是等價的。

由於它是乙個可以寫成整數分數的有理數，因此有理數和整數對是等價的; 因為整數對 （0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1） ......它可以排列成有序列（正負可以錯開），所以整數對和自然數也是相等的。

同樣，由於無理數,,,無理數的一部分可以與自然數建立一一對應關係，因此它們是等價的。 因此，無理數不亞於自然數，因此也不亞於有理數。

我們現在需要做的就是證明無理數不等於自然數。

我們使用反證。 倒無理數可以排列在一列中（因此編號為 ......

我們可以找到乙個新的無理數，其第一位數字與上面序列中的第乙個數字不同，第二個數字與序列中的第二個數字不同,......因此，這個新的無理數不在序列中，這是乙個矛盾。 這種矛盾表明，無理數不能排列在一列中，即無理數比自然數多，因此比有理數多。

你想讓我說什麼......

您如何看待無理數與凱利數相比？ 無理數沒有準確的數字猜測，無論哪個區間是無限的，也有無數個有理數和尊重數。

如果你能比較，你就是個天才！

設 q： n q q（n）=r ，r q.

設 g：q q g（q（n））=2*-n。

設 f： r q f（x） = g（r）， r x ， r q.

那麼上面定義的函式f就是在實數集合上定義的函式，它在有理數點被打斷，在無理數點被連續。

設 a 為有理點，則對於任何 >0，有 δ>0，當 |x-a|<δ， |f(x)-f(a)|見面 |x-a|<δ非理性點 b，當 x 滿足 |x-a|<δ， |f(x)-f(b)|=|f(x)-f(a+f(a)-f(b)|≤/2|f(x)-f(a)|+f(b)-f(a)|所以 f（x） 在無理點 b 處必須是連續的。

因此，在所有無理點上都不存在不連續函式這樣的東西。

例如，a 是最大數字，b 是最小數字。

該選項 A' =a+1 >a

and b' = b-1 < b

所以 A 沒有最大數量，B 沒有最小數量。