大一微積分題，問，問！！

f（x）-（1 2）f（x 2）=x 2 設 x=x 2，然後在等式的兩邊乘以 1 2

1 2） f（x 2） - （1 4） f（x 4） = x 2 8 繼續重複上述過程。

1/4)f(x/4)-(1/8)f(x/8)=x^2/64

1/2^(n-1)]f[1/2^(n-1)]-1/2^n)f(x/2^n)=x^2/(2^3n)

以上所有加起來。

f(x)-f(x/2^n)/2^n=x^2[1+1/8+1/64+..1/(2^3n)]

x^2[(1(1-(1/8)^(n+1))]/[1-1/8]

8 7） x 2 n->無限（1 8） （n+1）=0

當 n 接近無窮大時，總是可以取乙個 n，這樣當 n > n 時，x 2 n 屬於 x=0 的鄰域。

所以 f（x 2 n） 是有界的，（1 2 n） 是無窮小的，所以 lim n-> 無窮大 f（x 2 n） 2 n=0（有界函式乘以無窮小極限是 0）。

所以 f（x）-0=（8 7）x 2

f(x)=(8/7)*x^2

作為提示，f（x）-f（x 2） 2=x 2f（x 2）-f（x 4） 2=x 2 4->1 2f（x 2）-f（x 4） 4=x 2 8

f(x/4)-f(x/8)/2=x^2/16->f(x/4)/4-f(x/8)/8=x^2/64

依此類推，然後將所有方程相加。

解：微分方程為 y"=(1+y'2y，變為 2y"/(1+y'²)=1/y

（y'²)'=2y'y"方程重新轉換為 2y'y"/(1+y'²)=y'y，兩邊的積分有ln（1+y'²)=ln|y|+ln|a|（a 是任何非零常數）有 1+y'²=ay，y'=±√(ay-1)，dy/√(ay-1)=±dx，2 [√ay-1)]/a=±x+c/a

c 是任意常數）。

方程的一般解為 y=（ax+c） 4a+1 a，方程的一般解可以簡化為 。

y=ax²/4+cx/2+c²/4a+1/a

lim（x 趨向於 0） f（x） 除以 （絕對值 x） = a 存在。

f(0)=0;

lim（x 趨向於 0）f'(x) = lim [f(x)-f(0)]/(x-0) = lim f(x)/x ;

當 f（x） 在 x=0 時可推導時，我們得到： lim（x 趨向於 0 負） f'（x） = lim（x 趨向於 0 正） f'(x)

a = lim -f(0-)/|x| = lim f(0+)/|x| = a ∴a=0

這證明了充分性，上述過程被逆轉為必要性。

(1) .設 f（x） = f（x） -xf（1 2） =f（1 2） -1 2 =1 2>0f（1 ） = f（1） -1 =-1<0 所以： f（1 2） *f（1） <0

根據中介定理，在 （1 2,1） 中，必須有 f（ ）= 0 兩者： f（ ）= ;

2).設 f（x） = f（x） -x

f（1 2） =f（1 2） -1 2 =1 2>0f（1 ） = f（1） -1 =-1<0 所以：f（1 2） *f（1） <0

根據中介值定理，在 （1 2,1） 中，必須有 f（ ） = 0 和 f（0） = 0

使用 [0， ] 上的 Roll 定理對 f（x），有 （0， ） 使得 f'（ = 0

兩者：f'（η）= 1

3).設 g（x） = exp（- x）*f（x） 再次： g（0） = 0， g（ ） = 0

根據羅爾定理，對於任何實數，必須有 x0 （0， ），使得 ：g'(x0) =exp(-λx0)*[f'(x0) -1 - f(x0)-x0]] =0

經驗值（-x0）>0

兩者：f'（x0）- f（x0）-x0]=1exp 表示自然對數。exp（-x） 是 exp 的 -x 冪。

給你乙個提示，均值定理。