e 的正弦平方積分與 x 的冪

問不定積分∫(e^x)sin²xdx

解：原式 = （1 2） （e x）（1-cos2x）dx

1/2)[(e^x)-∫e^x)cos2xdx]

1/2)[e^x-∫cos2xd(e^x)]

1/2)(1-cos2x)(e^x)-[sin2x)(e^x)-2∫(e^x)cos2xdx]

1/2)(1-cos2x)(e^x)-(sin2x)(e^x)+2∫(e^x)cos2xdx

移動產生 （5 2） （e x）cos2xdx = （1 2）e x-（1 2）（1-cos2x）（e x）+（sin2x）（e x）=（1 2）（cos2x+2sin2x）（e x）。

因此 （e x）cos2xdx=（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）

因此，原式 = （1 2）e x-（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）+c=[（1 2）-（1 5）（cos2x+2sin2x）]e x+c

解釋。 注意不定積分和定積分之間的關係：定積分是乙個數字，而不定積分是乙個表示式。

它們只是在數學上與計算相關。

乙個函式可以有不定積分而沒有定積分，也可以有沒有不定積分的定積分。 連續功能。

必須有確定積分和不定積分; 如果有限區間 [a，b] 上只有有限中斷，並且函式是有界的。

則存在乙個確定的積分; 如果有跳、走、無限斷，那麼原函式。

不能存在，即不定積分不能存在。

解：原式 = （1 2） （e x）（1-cos2x）dx

1/2)[(e^x)-∫e^x)cos2xdx]

1/2)[e^x-∫cos2xd(e^x)]

1/2)e^x-(1/2)[(e^x)cos2x+2∫(e^x)sin2xdx]

1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫e^x)sin2xdx

1/2)(1-cos2x)(e^x)-∫sin2xd(e^x)

1/2)(1-cos2x)(e^x)-[sin2x)(e^x)-2∫(e^x)cos2xdx]

1/2)(1-cos2x)(e^x)-(sin2x)(e^x)+2∫(e^x)cos2xdx

移動產生 （5 2） （e x）cos2xdx = （1 2）e x-（1 2）（1-cos2x）（e x）+（sin2x）（e x）=（1 2）（cos2x+2sin2x）（e x）。

因此 （e x）cos2xdx=（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）

因此，原式 = （ 1 2）[e x-（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）]+c=[（1 2）-（1 10）（cos2x+2sin2x）]e x+c

∫(e^x)sinxdx=(e^x)[sinx-cosx]/2+c。

e^x)sinxdx

sinxd(e^x)

sinx(e^x)-∫e^x)dsinx

sinx(e^x)-∫e^x)cosxdx

sinx(e^x)-∫cosxd(e^x)

sinx(e^x)-(e^x)cosx+∫e^xdcosx

sinx(e^x)-(e^x)cosx-∫e^xsinxd

所以 （e x）sinxdx=（e x）[sinx-cosx] 2+c

性質：積分是微分的逆，即知道函式的導數，原來的函式被反轉。 在應用方面，積分效應不僅如此，還廣泛用於求和，通俗地說，求曲線三角形的面積，這種巧妙的求解方法是由積分的特殊性質決定的。

它主要分為定積分、不定積分和其他積分。 積分的性質主要包括線性度、數守恆、最大最小值、絕對連續性、絕對值積分等。

偏積分法，確實是使用乘法導數推導的。

e^xsinxdx

sinxde^x

sinxe^x-∫e^xdsinx

sinxe^x-∫cosxe^xdx

sinxe^x-∫cosxde^x

sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2

e 的不定積分乘以 x 的冪乘以 sinx 的平方是 （1 2）e x-（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）+c=[（1 2）-（1 5）（cos2x+2sin2x）]e x+c。

乙個函式可以有不定積分而沒有定積分，也可以有不定積分而不定積分。 對於連續函式，必須有定積分和不定積分。

計算不定積分的技巧：當一些被積數比較複雜時，我們可以觀察到一些函式放在 d 後面（d 後面的函式會發生變化），這樣 d 後面的函式與前面的復智力大廳的被積數結構相似，最後用基本的積分公式來求它們（如果不是， 我們將進一步使用其他方法來找到它們）。

i = 虛擬手 e x（sinx） 2dx = 1 2） e x（1-cos2x）dx = 1 丹宇襯衫 2）e x - 1 2） e xcos2xdx

i1 = e^xcos2xdx = cos2xde^x = e^xcos2x + 2∫e^xsin2xdx

e^xcos2x + 2∫sin2xde^x = e^x(cos2x+2sin2x) -4i1

得到空腔 i1 = 1 5）e x（cos2x+2sin2x）

i = 1/2)e^x - 1/10)e^x(cos2x+2sin2x) +c

E 是 x 的冪乘以 sinx 的平方定積分是 （1 2）e x-（1 5）（cos2x+2sin2x）（e x）+c=[（1 2）-（1 5）（cos2x+2sin2x）]e x+c。

包含數字的字母可以具有沒有定積分的不定積分，也可以存在沒有不定積分的定積分。 連續功能。

必須有確定積分和不定積分;

計算不定積分的技巧：當一些被積數比較複雜時，我們可以觀察到一些函式放在d後面（放在d後面的函式會發生變化），這樣d後面的函式在前表面與復被積數具有相似的結構，最後使用基本積分公式。

找到它（如果找不到它，請使用其他方法找到它）。

如下：

基本函式。 它不能累積，雙積分。

方法可以得到：

exp(x^2)dx]^2

exp(y^2)dy∫exp(x^2)dx∫∫exp(x^2+y^2)dxdy

用極坐標替換：

rexp(r^2)drdθ

假設圓的半徑為 r：

2π[(1/2)exp(r^2)]

exp(a^2)-1]

因此，exp（x2）dx=[exp（a2）-1] 在根數下。

點的表示。

函式的積分表示函式在某個區域的整體性質，更改函式的某個點的值不會改變其積分值。 對於具有黎曼可積函式的函式，更改有限個點的值，其積分保持不變。 對於 Lebegus 可積函式，度量為 0 的集合上函式值的變化不會影響其整數值。

如果兩個函式幾乎在所有地方都相同，那麼它們的積分是相同的。

∫(e^x)²dx∫(e^x)d(e^x)

e^x)²/2+c

e^(2x)]/2+c

定義積分有不止一種方法，並且定義彼此之間並不完全等同。 主要論點是，在某些特殊函式的定義中定義了一些特殊函式：這些函式在某些積分的定義下是不可積的，但它們的積分存在於其他確定的空間碰撞下。

然而，由於教學原因，有時定義存在差異，積分最常見的定義是黎曼積分和勒貝格斯積分。