已知序列 1 2n 2n 2 （1） 求 S1、S2、S3 2 猜想 Sn 的結果，並用數學歸納法證明

1） 當 n=1， 1 2n（2n+2）}=1， 8 n=2， 1 2n（2n+2）=1， 24 n=3， 1 2n（2n+2）=1 48

S1 = 1 8， S2 = 1 6， S3 = 3 162） 從 （1） S1 = 1 8， S2 = 1 6， S3 = 3 16 猜想 Sn=N [4（n+1）]。

數學歸納：（1）當n=1時為真。

2） 假設當 n=k， sk=k[4（k+1）] 和 n=k+1 時，s（k+1）=sk+1 2（k+1）（2（k+1）+2） 時，方程成立。

k/[4(k+1)]+1/4(k^2+3k+2)=k/[4(k+1)]+1/4(k+1)(k+2)

k(k+2)+1)/4(k+1)(k+2)(k+1)^2/4(k+1)(k+2)

k+1)/[4(k+2)]

總之，sn=n [4（n+1）] 對於任何實數 n 都為真。

所以 sn=n [4（n+1）]。

這就是它應該的樣子！！

從已知值：an=1 2[1 2n-1 （2n+2）]，則 s1=1 8，s2=1 6，s3=3 16，則 sn=1 2[1 2-1 （2n+2）]。 然後找到 （1）：

當 n=1 時，它成立。 （2）：假設當 n=k， 為真時，則 sk=1 2[1 2-1 （2k+2），則當 n=k+1 時，s（k+1）=sk+a（k+1）=1 2[1 2-1 （2n+4）]，將 a（k+1） 帶入上述方程驗證，也是真的。

然後證明完成。

解決這個問題最簡單的方法是使用拆分項法，將一般項拆分為 1 4 （1 n-1 n+1），然後將前項和後項相加以消除。 至於號碼返回的方法，嚴格按照返回號碼的兩個步驟來做是很容易的。

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

所以。 s1=1/2

s2=1-1/2+1/2-1/3=1-1/3=2/3s3=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4=1-1/4=3/4sn=1-1/(n+1)=n/(n+1)

教科書中提供了數學歸納法。

一步乙個腳印。 哦。

設比例級數的通式 an=2 （n-1），則級數前 n 項之和為 bn=2 n - 1

b1= 1b2 = 1+2

b3=1 + 2 + 4··

這是所尋求的數字序列。

則前 N 項的總和為。

sn=(2 - 1)+(2²-1)+(2³ -1) +2^n - 1)

2+2²+2³+…2^n) -n=2(2^n - 1) -n

2^(n+1) -n - 2

這個問題難不大，主要採用群求和和位錯減法的方法，解法如下：

sn=1+(1+2)+(1+2+2^2)+(1+2+2^2+2^3)+…1+2+…+2^(n-1)]=n*1+(n-1)*2^1+…+1*2^(n-1) (1)

2sn=n*2^1+(n-1)*2^2+…+1*2^n (2)

2)-(1)：sn=-n+2^1+2^2+…+2^(n-1)+2^n=-n+2^(n+1)-2

每個專案都是乙個比例系列。

使每個專案 a1、a2、a3、a4、a5 ,......a（n-1），則 an 的第一項設定為 a1=1

第二項設定為 a2=1+2

第三項設定為 a3=1+2+2 2

a（n-1）=（1-2^n-1）/（1-2）an=（1-2^n）/(1-2)

sn=1+(1-2^2)/(1-2)+(1-2^3)/(1-2)+…1-2^n）/(1-2)=（1-2）+（1-2^2）+…1-2^n）/(1-2)=/(1-2)=2^(n+1)-n-2

比例級數求和的公式是 a=1+2+2 2+......2^(n-1)①∴2a=2+2^2+2^3+……2 n - 得到 （2-1）a=（2+2 2+2 3+......2^n)-(1+2+2^2+……2^(n-1))=2^n-1

a=(2^n-1)/(2-1)

2sn＝2+（2+2∧2）+（2+2∧2+2∧3）+.2+2∧2+..2∧n）

sn＝1+（1+2）+（1+2+2∧2）+.1+2+2∧2+2∧（n-1））

sn-2sn＝..

我一直在尋找這個結果。

這種方法稱為位錯消除。

sn-s(n-1)=an=1+2+2^2+..2^(n-1)=2^n-1

s(n-1)-s(n-2)=a(n-1)=2^(n-1)-1..

s2-s1=2^2-1

s1=1 被新增到左右兩側。

sn=(2^2+2^3+..2^n)+1-(n-1)=2^(n+1)-2-n

所以 sn=2 （n+1）-2-n

2 （n+1）-2-n 前面是 2 的 n+1 冪，你不能犯錯。

設 sn=1 2+3 4+5 8+......2n-1） 2 n，則 2sn=1+3 boji2+5 4+7 8+（2n-1） 2 （n-1）sn=2sn-sn=1+（3 2-1 2）+（5 4-3 4）+（7 8-5 8）+....2n-1)/2^(n-1)-(2n-3)/2^(n-1)]-2n-1)/2^n=1+[1+1/2+1/4+……1 2 （n-2）]-2n-1） 2 n=1+2-1 2 （n-2）-（2n-1） 2 n=3-（2n+3） 2 n

n>=2） 當這個人尊重 n=1， s1=1 2 時，把上面的公式帶入，它是真的。所以 sn=3-（2n+3） 2 n

n>=1)

s1=1/(1×3)=1/3

s2=1/(1×3)+1/(3×5)=1/3+1/15=5/15+1/15=6/15=2/5

s3=1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)=1/3+1/15+1/35=2/5+1/35=14/35+1/35=15/35=3/7

變形：s1=1 3=1 （2 1 +1） s2=2 5=2 （2 2+1） s3=3 7=（2 3+1）。

猜想：sn=n （2n+1）。

證明：當 n=1 時，s1=1 （2+1）=1 3，等於計算結果，表示式為 true。

假設表示式在 n=k（k n 和 k 1） 時成立，即 sk=k （2k+1），則當 n=k+1 時，s（k+1）=1 （1 3）+1 （3 5）+1/[(2k-1)(2k+1)]+1/[[2(k+1)-1][2(k+1)+1]]

sk+1/[(2k+1)(2k+3)]

k/(2k+1)+1/[(2k+1)(2k+3)]

k(2k+3)+1]/[(2k+1)(2k+3)]

2k^2+3k+1)/[(2k+1)(2k+3)]

k+1)(2k+1)/[(2k+1)(2k+3)]

k+1)/(2k+3)

k+1） [2（k+1）+1]，表示式也為 true。

總之，sn=n （2n +1）。

猜想：sn=n （n+1）。

證明：當 n=1， s1=1 （1 2）=1 2=1 （1+1） 時，猜想的表示式為真。

假設當 n=k（k n 和 k 1） 時，表示式成立，即 sk=k （k+1），則當 n=k+1 時，s（k+1）=1 （1 2）+1 （2 3）+1/[k(k+1)]+1/[(k+1)(k+2)]

sk+1/[(k+1)(k+2)]

k/(k+1)+1/[(k+1)(k+2)]=[k(k+2)+1]/[(k+1)(k+2)]=(k²+2k+1)/[(k+1)(k+2)]=(k+1)²/[(k+1)(k+2)]

k+1)/(k+2)

k+1)/[(k+1)+1]

表示式也是如此。

總之，sn 的表示式為 sn=n （n+1）。

sn=n/(n+1) （1）

步驟 1： s2 = 1 1 * 2 + 1 2 * 3 = 1-1 2 + 1 2-1 3 = 1-1 3 = 2 3

滿足等式（1）。

第 2 步：假設 sn=n （n+1）。

則 sn+1=sn+1 （n+1）*（n+2）=n （n+1）+1 （n+1）*（n+2）=1-1 （n+1）+1 （n+1）-1 （n+2）=1-1 （n+2）。

n+1)/(n+2)

滿足等式（1）。

因此 sn=n （n+1）。