在等差 an 的級數中，Sn 是前 n 項的總和，如果 Sn 為 20，則 a2 a3 a4

sn=na1+(n-1)d;

d=(sn-na1)/(n-1)=(20-na1)/(n-1);

其中 d 是公差，n>1。

a2+a3+a4=3a1+3d=3a1+3(20-na1)/(n-1)=(60-3a1)/(n-1);

如果問題沒有其他條件，這應該是答案。

如果是一系列自然數，從問題a2+a3+a4可以看出：n>=4

sn=na1+(n-1)d=20;

n=(20+d)/(a1+d)>=4;4a1+3d<=20;

a1 是自然數，所以 d=1,4;

當d=1,4a1+3<=20時; a1<=17/4;a1<=4;

當 a1=1 時，第乙個方程給出 n=21 2; 放棄它。

當 a1=2 時，n=7 也是如此所以 a2 + a3 + a4 = 3a1 + 3d = 9

a1=3，n=21 4也是如此; 放棄它。

A1=4，n=21 5 也是如此，四捨五入。

當d=4時，以同樣的方式，4a1+3*4<=20; a1<=2;

當 a1=1， n+4（n-1）=20， n=24 5， 四捨五入時。

當 a1=2， 2n+4（n-1）=20， n=4， a2+a3+a4=3a1+3d=18

這裡我們只談遞增的級數，遞減的級數就不討論了。

在我看來，如果沒有其他條件，這個問題只是讓大家討論所有可能的情況，目的是養成整體考慮問題的習慣，但一般條件會在非討論的情況下解釋，比如上面，如果是一系列自然數遞增n<7，答案就確定了。

如果 sn=20，我只能理解 sn 等於 20，無論 n 取什麼值是 20，那麼 s1=a1=20

s4=a1+a2+a3+a4=20

減去，a2 + a3 + a4 = 0

這個問題只能這樣理解，否則就沒有答案了。

s12=12（a1+a12） 2=21 a1+a12=7 2 a3+a4+a9+a10 =（a3+a10）+（a4+a9） =a1+a12）+（a1+a12） =7 餡餅 李芳 2+7 2 =7

解開刺激 s4=a1+a2+a3+a4=4a2+2d=22d=（22-4a2） 並容忍分支 2=3 的租金

a1=a2-d=4-3=1

an=a1+nd

n=（an-a1） 長照 d=9

從 a3b3=1 2，s3+s5=21， a1=1， d=1

bn=2/n(n+1)=2(1/n-1/n+1)

積累和證明。

等差數列前n項之和為sn，bn=1 sn，a3b3=1 2a3b3=a3 s3=a3 （a1+a2a+a3）=1 2 a1+a2=a3，公差d=a1，an=n·a1s5+s3=15a1+6a1=21a1=21 a1=1，an=n，sn=n（n+1） 2，bn=2 n（n+1）第二個問題a1=1，a2=2a1 （a1+2）=2 3， a3=2a2 （a2+2）=1 2

1/an=[a(n-1)+2]/2a(n-1)=1/2 + 1/a(n-1)

1 2 + 1 2 + 1 a（n-2） {1 an} 變成一系列相等的差分。

1/an=(1+n)/2,an=2/(1+n)

設差分級數的前 n 項之和為 sn，bn=1 sn，a3b3=1 2，s5+s3=21（1） 求 bn （2） 求 bn 和 tn 的前兩項

b3=1/s3=1/(a1+a2+a3)=1/(3a1+3d)

a3=a1+2d

s3=3a1+3d

s5=5a1+10d

a3b3=1/(3a1+3d)*(a1+2d)=1/2 (1)

s5+s3=(3a1+3d)+(5a1+10d)=21 (2)

從 （1） 和 （2）：

a1=d=1 因為 sn=（a1+an）n 2=（1+n）n 2

1)bn=1/sn=2/[(1+n)n]

2)b1=1,b2=1/3

tn 估計是 bn 的前 n 項之和，tn=2 [（1+n）n]。

2*[1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...1/(n-1)-1/n]

2*(1-1/n)

2(n-1)/n

問題 2. 已知序列 {an} 滿足 a1=1， an=2a（n-1） a（n-1）+2

1）證明{1 an}是一系列相等的差分 （2）求an的一般項。

如果 an 的表示式不正確，則應為 an=2a（n-1） [a（n-1）+2]。

1） an=2a（n-1） [a（n-1）+2] 到兩邊的倒數，1 an=1 2+1 a（n-1）。

1/an-1/a(n-1)=1/2

所以{1 an}變成一系列相等的差。

2）找到an的一般術語。

設 cn=1 an，所以 cn 是一系列相等的差值，c1=1 a1=1，公差 d=1 an-1 a（n-1）=1 2

CN=1+（n-1） 2

所以 1 an=1+（n-1） 2

an=2/（n+1）

s2=a1+a2，所以a1+a2=a3 設差級數的公差為x，則a3=a2+x，即a1+a2=a2+x，x=a1=1 2，a2=a1+x=1

1. A2+A3 = A1+D + （A1+2D） = 2*A1+3*D = 13 （1）S5 = 5*A1 + D + 2*D+3*D + 4*D） = 5*A1 + 10*D = 25

即 A1 + 2*D = 5 （2） 由等式 （1） 和 （2） 獲得。

a1 = 11，d = -3。

2. S20 = 20*A1 + D*20*19 2= 220 - 3*190

因為 a2 + a3 = 5

所以 a1 + d + a1 + 2d = 5，所以 2a1 + 3d = 5

因為 s5 = 20

所以 5（a1 + a5） 2 = 20

所以 a1 + a5 = 8

所以 a1 + a1 + 4d = 8

所以 a1 + 2d = 4

所以 a1 = 2 和 d = 3

所以 a10 = a1 + 9d = 2 - 27 = 25