如何證明實數上有理數的密度

證明1：設兩個有理數a，b，a>b，a-b=d，d是有理數，d不等於0，d2不等於0，a-d 2是有理數，a>（a-d 2）>b

證明-2：設 a， b r 存在 z e， ax r， 設 c>0，則 x+c>x

有 c1>0，因此可以選擇 x-like 到 c2、c3、,..使得 } 包含在 e 中

現在讓我們證明可以選擇 cn，使得 an=x+cn 的極限是 x

相反，如果任何 CN 滿足 AN 大於 X 並且 AN 是單調的（AN 收斂），則 AN 收斂到 A>X

但是，您可以選擇 A'>0 使得 x其他資訊：

一組有理數是一組整數。

的擴張。 在有理數的集合中，加法、減法、乘法、除法（除數。

不為零）4種操作暢通無阻。

對於有理數加減乘除的混合運算，如果沒有括號表示先做什麼運算，則按照“先乘除後加減法”的順序進行，如果是同級運算，則按從左到右的順序計算。

從有理數中減去乙個數等於將該數的反數相加。

也就是說，有理數的減法使用與數字相反的加法進行運算。

有理數的除法和乘法是逆運算。

1. 設 e 是 r 滿足的非空子集：

設 a，b r，有 z e，因此 a 考慮 x r，並設 c>0，則 x+c>x。 所以有 c1>0，這樣 x-like 就可以選擇為 c2、c3、,..使得 } 包含在 e 中

現在讓我們證明可以選擇 cn，使得 an=x+cn 的極限是 x

相反，如果任何 CN 滿足 AN 大於 X 並且 AN 是單調的（AN 收斂），則 AN 收斂到 A>X。

但是，已知可以選擇'> 0，使 x 是 e 的聚集點，e 的閉包是 r 從 x 的任意性。

2. 設兩個有理數 a 和 b。

a>b，a-b=d，d是有理數，d不等於0，d2不等於0，a-d 2是有理數，a>（a-d 2）>b;

解決方案：證明利用了有理數的性質。 設兩個有理數 a、b、a>b。

a-b = d，d 是有理數，d 不等於 0，d 2 不等於 0，a-d 2 是有理數，a>（a-d 2） >b。

區間 [a，b] 中的雙幣：a （a+b） 2 b;

區間 [a，b] 的三分之二：a （2a+b） 3 （a+2b） 3 b;

區間 [a，b] 中的三個四分位數點：a （3a+b） 4 （2a+2b） 4 （a+3b） 4 b;

因此，在兩個有理數 a，b（a b） 之間存在無限數量的有理數。

密度的定義：如果乙個集合在空間的任何開口中都有元素，那麼我們稱該集合為該空間中的密集集合。

設 e 是 r 的非空子集，滿足：

1.設 a，b r，有 z e，使得 a0，則 x+c>x所以有 c1>0 使得 xx

但是通過 1我知道我可以選擇A'> 0 使得 xb， a-b = d， d 是有理數， d 不等於 0， d 2 不等於 0， a-d 2 是有理數， a>（a-d 2） >b，

因為在任何兩個有理數之間都有無限數量的有理數和無理數。 同時，在任何兩個無理數之間也存在無限數量的有理數和無理數。 所以有理數和無理數都是密集的。

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

無理數，也稱為無限非迴圈小數，不能寫成兩個整數的比率。

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。 正整數和正分數統稱為正有理數，負整數和負分數統稱為負有理數。 因此，有理數集中的有理數個數可以分為正有理數、負有理數和零。

由於任何整數或分數都可以簡化為十進位迴圈小數，反之，每個小數迴圈小數也可以簡化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進位迴圈小數。

在數學中，無理數是所有不是有理數的實數，它們是由整數的比率（或分數）組成的數字。 當兩個段的長度之比不合理時，段也被描述為不可比的，這意味著它們不能被“測量”，即沒有長度（“測量”）。

給定任意兩個實數 a，b 假設 a 易於在鬍鬚清晰的分數的平方上運算。

將整個部分和分數部分分開是錯誤的。 容易出現總和的算術平方根。

應與算術和誤差的平方根之和混淆，以避免此類錯誤。

實數注意：開平方一般涉及兩個方面：一是開平方數是整數，開平方數應分解為平方數。

對於非平方積，平方數平方; 二是平方數是分數，要把分子和分母乘以乙個合適的數字，把分母變成平方數，然後把分母平方。

因為在任何兩個有理數之間都有無限數量的有理數和無理數。

同時，在任何兩個無理數之間也存在無限數量的有理數和無理數。 所以有理數和無理數都是密集的。

設 a 和 b 是任意兩個有理數和乙個除數。

不為零）4種操作暢通無阻。

有理數 a 和 b 的大小階：如果 a-b 是正有理數，那麼當 a 大於 b 或 b 小於 a 時，表示為 a>b 或 b 的絕對值。

加。 2.將兩個不同符號的數字相加，如果絕對值相等，則它們彼此相反。

兩個數字的總和為 0; 如果絕對值不相等，則取絕對值較大的加法符號，並從較大的絕對值中減去較小的絕對值。

3. 將兩個彼此相反的數字相加得到 0。

4. 將乙個數字加到 0 仍然得到這個數字。

5.可以先新增兩個彼此相反的數字。

6.可以先新增具有相同符號的數字。

7. 可以先新增具有相同分母的數字。

8.如果可以新增幾個數字來獲得乙個整數，則可以先新增它們。

減去乙個數相當於將該數的倒數相加，即有理數的減法使用相反數數加法進行運算。

1.同號為正，異號為負，絕對值相乘。

2. 將任何數字乘以零得到零。

3.將幾個不等於零的數字相乘，乘積的符號由負數的個數決定，當負數為奇數時，乘積為負數，當負數為偶數時，乘積為正數。

4.當幾個數字相乘時，有乙個因子為零，乘積為零。

5.將幾個不等於零的數字相乘，首先確定乘積的符號，然後乘以絕對值。

1.除以乙個不等於零的數字，該數字等於該數字的倒數。

2.將兩個數字相除，同號為正，異號為負，絕對值相除。 零除以不等於零的任何數字得到零。

注意：零不能是除數和分母。

有理數的除法和乘法是逆運算。

在進行除法運算時，首先根據同一符號為正，不同符號為負的規則確定符號，然後對絕對值進行除法。 如果方程中有帶分數。

通常，它首先轉換為虛假分數。

進行計算。 如果不可整除，則將除法運算轉換為乘法運算。

無理數和有理數都是密集的，即在任何兩個不相等的實數之間有無限個有理數和無限個無理數。 無理數比有理數多得多。 有無限多的有理數，和自然數一樣多，所以它們被稱為可數無窮大。

無理數和實數一樣多，而且它們是不可數的。 在區間 [0,1] 上，有理數的度量為 0，無理數的度量為 1。

無理數都是實數，不是有理數，是有理數是由整數的比率（或分數）組成的數字。 當兩個段的長度之比是 corteck 無理數時，段也被描述為不可比的，這意味著它們不能被“測量”，即沒有長度（“測量”）。

顯然，取兩個實數 x1 和 x2。 （x1 然後 x0=（x1+x2） 2 （x1，x2） 然後 x1，x0，做同樣的改變，同樣如此。

它無限地持續下去，所以實數是密集的。

任意給定兩個實數 a、b

假設 a 則有 x = （a+b） 2

滿足 A，所以實數是密集的。