如何證明四色定理、四色定理和十色定理

近代三大數學問題之一。 四色猜想來自英國。 但它似乎還沒有得到證實。

四色定理（近代三大數學問題之一），又稱四色猜想和四色問題，是世界三大數學猜想之一。

四色問題寫道：“任何只有四種顏色的地圖都可以用不同的顏色繪製乙個具有共同邊界的國家。 換句話說，在不引起混淆的情況下，地圖只需要用四種顏色標記。

用數學術語來說，它“被任意細分為不重疊的區域，每個區域總是可以用四個數字 1234 中的乙個標記，而不會給兩個相鄰區域提供相同的數字。 “我們所說的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。 如果兩個區域僅相交乙個點或有限數量的點，則它們不稱為相鄰區域。

十色測定也稱為希伍德定理。 在試圖證明四色定高嫉妒理論的過程中，人類發現，在曲面上構建乙個由10個區域成對連線的平面更容易。

四色問題又稱四色猜想和四色定理，是現代世界三大數學問題之一。 （即，“將乙個平面任意細分為不重疊的區域，每個區域總是可以用四個數字 1234 中的乙個標記，而不會給兩個相鄰區域相同的數字。 這是世界數學的乙個未解之謎，直到現在還沒有解開。

四色定理曾經被計算機解決過，但沒有得到數學家的認可。 所以四色定理直到現在還沒有被解。 不過，在這個過程中，有乙個比較有名的肯普，但沒過多久赫伍德就否定了，他在此基礎上提出了五色定理，而寬銀但肯普的也不是沒用，肯普用還原法解決了它。

但肯普基的愚蠢證明闡明了兩個重要概念，為以後解決問題提供了一種方法。 第乙個概念是“配置”。 他證明了，在每張常規地圖中，至少有乙個國家有兩個、三個、四個或五個鄰居，並且沒有每個國家都有六個或更多鄰居的常規地圖，也就是說，由兩個、三個、四個或五個鄰居組成的一組“配置”是不可避免的，並且每張地圖至少包含這四個配置中的乙個。

肯普提出的另乙個概念是“可轉讓性”。 “可再生”一詞的使用來自肯普的論點。 他證明，只要乙個國家在五色地圖中有四個鄰國，就會有一張五色地圖，而五色地圖的國家就會更少。

自從引入“構型”和“可約性”的概念以來，一些檢驗構型以確定其是否可約的標準方法逐漸發展起來，可以尋求必然的可約構型組，這是證明“四色問題”的重要依據。 但要證明乙個大配置是可簡化的，需要檢查大量的細節，這是相當複雜的。

於是在那之後，四色定理開始慢慢發展起來。

但是當電子學問世時，四色定理有了解決方案。 1976 年 6 月，美國伊利諾大學的兩台不同的計算機花費了 1,200 小時和 100 億次判斷，結果是沒有一張地圖需要五色，最終證明了四色定理。 這個訊息震驚了世界，但這個訊息還沒有得到世界的承認，因為它是由計算機計算出來的。

所以還沒有人能夠用自己的雙手解決這個問題。

根據這個問題，還出現了幾個問題。 1、點著色、邊緣著色、表面著色、體熔著色的一般著色方法及非平面圖的著色方法。 這些人將更快地使用工作圖表方法應用電腦程式。

為此，他期待與數學家和計算機專家合作，將繪圖方法公升級為一種演算法，以更好地服務於公眾。

2、成功找到了哈密頓環的繪製方法、哈密頓圖的判斷律、旅行推銷員問題的近似對映方法。

3.路線著色猜想。

路線著色猜想一直是困擾數學界四十年的難題，2007年被以色列數學家成功解解，但它仍然有侷限性。

你可以嘗試一下，讓大家體驗數學的樂趣。

這個四色猜想，在嚴格意義上還沒有被橘丹河證明過。

有些數學家使用計算機。 它已被證明，但一些數學家仍然不承認這種方法。

附錄：四色問題的計算機證明。

高速數字計算機的發明促使更多的數學家研究“四色問題”。 自1936年以來一直在研究四色猜想的海克公開聲稱，四色猜想可以通過找到一組不可避免的可約化圖形來證明。 他的學生Trey編寫了乙個計算程式，Heiko不僅可以用它來證明配置是可簡化的，還可以通過將地圖修改為數學上所謂的“對偶”。

他標記了每個國家的首都，然後用一條越過邊界的鐵路將鄰國的首都連線起來，抹去了除首都（稱為頂點）和鐵路圓圈（稱為字母塵埃弧或邊緣）之外的所有線條，其餘的被稱為原始地圖的雙圖。 到六十年代後期，Heiko 引入了一種類似於在電網中移動電荷的方法，以找到不可避免的配置組。 在海克的研究中首次以相當不成熟的形式出現的“放電法”是後來研究必然群的關鍵因素，也是證明四色定理的核心要素。

電子計算機問世後，由於計算速度的迅速提高和人機對話的出現，大大加快了四色猜想的證明過程。 美國伊利諾大學的哈肯於1970年開始改進“放電過程”，後來與阿佩爾合作開發了乙個很好的程式。 1976年6月，他們在美國伊利諾大學，在兩台不同的電子計算機上花費了1200個小時，100億次判斷，最終完成了四色定理的證明，引起了全世界的轟動。

這是100多年來吸引眾多數學家和數學愛好者的重大事件，當兩位數學家發表他們的研究成果時，當地郵局在當天寄出的所有郵件上都蓋上了“四色就夠了”的特別郵戳，以慶祝問題的解決。

設圖 g=（v，e），其中 v=，g 是乙個簡單的無向平面檢視。 這裡 g 有 n 個頂點和 n>3。 從尤拉定理的推論可以看出，平面圖g中至少有乙個頂點，其度數不超過5。

假設這個頂點是 v0。 我們使用數學歸納法，當 n = 4,5 時，該定理顯然是正確的。 當 deg（v0）=3,4 時，該定理顯然為真。

當deg（v0）=5時，如圖所示，不難知道v1和v3不太可能同時與v2和v5相鄰，否則圖的平面度就會被破壞。 假設 v1 和 v3 不相鄰。 我們沿著邊（v1、v0）、（v0、v3）收縮 v1、v0 和 v3 的三個點。

得到另乙個圖g'，由於這種收縮是連續變化的，所以它不會改變圖的平面度，即圖g'仍然是平面圖（如圖2所示）。 很明顯，圖g'中的頂點數小於n，所以根據上面的歸納可以看出，g'可以有五種顏色：c1、c2、c3、c4、c5。

假設 v2 是 c2，v5 是 c5，v4 是 c4，收縮點是 c1 ......然後我們可以對 g 執行此操作，除了頂點 v0、v1、v3 之外，其餘頂點的著色方案與 g' 相同。 對於 v1 和 v3，我們可以使用 c1，因此在圖 g v1 中，v3 使用 c1，v2 使用 c2，v4 使用 c4，v5 使用 c5，那麼剩下的 c3 在頂點 v0 上，所以 g 可以用五種顏色著色。 根據歸納原理可以看出，對於所有平面圖，五色定理都是正確的。

四色定理是圖的著色問題的結果。 給圖著色的本質是標記圖中的頂點，但必須滿足某些條件。 顏色只是乙個標籤。

雖然四色定理的描述中提到了對映，但對映不需要四色定理：它只需要著色，不需要使用最少的顏色。 在實際繪製地圖時，通常不會使用四種顏色。

著色問題的應用，主要是排程和分配問題。

例如，我有幾個任務，每個任務需要一天的時間。 我知道其中幾項任務是相互衝突的，不能安排在同一天完成。 現在我希望它在四天內完成。

這就是四色問題：使用的圖是任務的頂點，衝突的任務相互連線，日期作為顏色，圖是彩色的。

另乙個例子是，我有一些員工，我想把他們分成四組。 但我知道，有幾名員工彼此不和，不能被放在同乙個小組裡。 那麼這又是乙個四色問題：

所用的圖表是以員工為頂點，矛盾的員工相互連線，組用於給圖表著色和著色。

四色定理說：如果上面提到的圖是平面圖（用高效演算法確定），那麼它可能在四天內完成，可以分為四組。

四色定理是圖論的乙個基本定理，從中可以推導出許多定理，在生活中直接應用並不常見。 四色定理之所以出名，是因為這個簡單的問題還沒有被相對簡單地證明，這引起了數學家的極大興趣，直到現在，計算機證明仍然是四色定理最直接、最有效的證明。

四色定理不在地圖上嗎？

至少可以使用四種顏色來區分國家/地區。

1.它被應用於一些地圖處理領域和分割槽標記，這是當代三大數學問題之一。

2.在許多數學問題的處理中都有應用，例如電腦科學，金融和數學，並且有乙個四色定理。