二次型為標準型20，二次型為標準型

x2 是平方項，x1x3 是混合項。 為了消除混合項 x1x3，您可以使 x1 = y1 + y3 和 x3 = y1-y3 來表示具有平方差的平方項。 然後讓 x2=y2 得到標準形狀。

在這種線性替換中，y 的係數行列式不為零，因此線性替換是非簡併的。

1.在平方項的情況下採用匹配方法。

F（x1，x2，x3）=x1 2-2x2 2-2x3 2-4x1x2+12x2x3 作為標準解： f=x1 2-2x2 2-2x3 2-4x1x2+12x2x3 --將第乙個平方項中 x1 的專案集中起來，然後返回更多並彌補更少 = （x1-2x2） 2 -6x2 2-2x3 2+12x2x3 --然後與 x2 = （x1-2x2） 2 -6（x2-x3） 2+4x3 2 2， 沒有平方項的情況，如 f（x1，x2，x3） = x1x2+x2x3 使 x1=y1+y2， x2=y1-y2 代替平方項，繼續處理第一種情況 3，特徵值。

方法：寫乙個二次矩陣，求出矩陣的特徵值，求出對應的特徵向量。

矩陣是半確定的。

和定確定：實對稱的矩陣。

單位矩陣中的正定 A 合約。

a 的特徵值都大於 0 x'ax = n a 的正慣性指數和階原理和子公式均大於 0 實對稱矩陣 a 半正定 a 與塊矩陣 （er， o; O、O） 和 Ra 都是大於或等於 0 的特徵值，並且至少有乙個特徵值等於 0 x'ax p < n 的正慣性指數

例如，空間中有乙個橢球體，因為坐標原點和坐標方向不在主軸上，所以橢球表示式方程非常複雜，二次標準型別是將參考坐標移動到橢球體的主軸上，同時保持原橢球體的形狀不變。

一般來說，x軸和y軸是垂直的，即正交的，正交變換得到的向量底之間的關係就是正交變換得到的向量底之間的關係，如果x軸和y軸是非90度角，這類似於通過合約或類似變換得到的向量底之間的關係， 影象會失真，當合約得到的向量基和相似變換相同時，就是正交關係，即正交變換。

收縮變換、相似變換和正交變換都是坐標變換，其中坐標移動到橢球體的中心，因此其表示式只有乙個平方項，即對角線特徵值。

收縮，類似的變換，橢球體可能變平或可能變成球體，因為向量基準長度可能會改變;

在正交變換中，橢球體的形狀和大小保持不變，正交變換的特點是保持向量的長度不變。

收縮 p t 和類似的 p （-1） 變換只能對角化，即移動到主軸上，表示式只有乙個平方項，但不能保證橢球體形狀不變。

有無數個合約變換，坐標被轉換到主軸上，也有無數個類似的變換，坐標被轉換到主軸上，只有當合約變換和相似變換相等時，才是正交變換p，實現了二次標準型別。

我不認為你處於正確的水平來理解這樣做的幾何形狀。

在正交變換中，正交變換使向量的長度（範數）保持恆定，並且還保持兩個向量之間的角度恆定，有點像剛體。 這實質上是在主軸上再旋轉一次並進行二次旋轉。 有乙個定理（舒爾定理）也與這個問題有關。

這很複雜，因為二次形式非常重要。

來自個人的一點膚淺的見解。

正交變換方法是將二次型別轉換為標準型別，技術是正交變換和匹配法：正交變換。 正巨集爐。

正交變換步驟：

1.將二次形式表示為矩陣f=x稅，並找到矩陣a。

2. 求 1、2 的所有特徵值,..n。

3. 求出與特徵值對應的特徵向量 a1、a2 和 ,..an。

4. 對特徵向量進行正交化和單元化，得到 b1、b2 ,..bn，表示 c = （b1，b2,..bn)。

5.對於正交變換x=cy，標準型別為f f=k1y1+k2y2+。knyn。

二次形式是指n個變數的二次多項式稱為二次，即在乙個多項式中，未知數的數量是任意的，但每項的碰撞次數為2。

在數學中，由幾個單項式相加組成的代數公式稱為多項式（如果有減法：減去乙個數等於加它的對數）。 多項式中的每個單項式稱為多項式的項。

標準型二次型：匹配法; 合同轉換法; 特徵值法。

二次型別的標準型和規範型的區別在於係數不同，變換不一樣，所有專案都不同。

首先，係數不同。

1.標準型：標準型的係數可以是任意常數。

2.規範型：規範型的係數只能為-1,0,1。

二是轉化不同。

1.標準型：同一實對稱矩陣a可以有多個標準型。

2.規範型別：同一實對稱矩陣a的規範型別是唯一的。

3.所有專案都不同。

1.標準型：標準型的所有項均為平方項，所有平方項的係數均為1。

2.規範型：所有規範型專案都是方項。

二次型別的標準型別不是唯一的。

二次型別的標準型別不是唯一的，但規範型別是唯一的。 求標準型別的平方或鄭態方法是按照實對稱矩陣的對角化步驟，取二次矩陣作為實對稱矩陣，找到q，然後做正交變換x=qy（xy為列向量），根據q將向量群中的每個習代入yi， 並且可以獲得標準型。

如果二次形式只有乙個平方項，則稱二次型別為標準型別。

如果標準型的係數只有1、-1和0，那麼就叫二次型的規範型，因為在標準型中，1、-1、0的數是由正負慣性慣性指數決定的，合約矩陣具有相同的正負慣性是指相同數量的簇， 因此，互合約的矩陣乘以相同的向量群，必須具有與二次型別的相同規範型別。

另外，求二次型的正負慣性慣性指數，正的特徵值個數就是正慣性指數，即規範型中1的個數。

正交變換方法如下：

1.二次舊握把光亮型表示為矩陣形式f=x稅，得到矩陣a。

2. 求 a， n 寬度的特徵值。

3. 求出特徵向量 a、a 和an。

4. 對特徵向量進行正交化和單元化，得到b、b、.，bn，注 c = （b， b， skin and. bn)。

5. 對於正交變換 x=cy，則標準型別為 f f=k y +k y +knyn。

二次標準化的本質和意義：

1.本質：二次標準化的本質是合約的對角化，而不是相似性的對角化。

正交矩陣之所以可以類似對角化：第一，因為正交矩陣的轉置等於逆矩陣，相似性與合約是一回事。 第二個原因是對稱矩陣的特徵向量在標準正交基向量下是正交的，沒有損失。

請注意，這裡提到的正交性在標準正交基上是正交的，即正交歸一化坐標系，而不是與上述二次型別相對應的幾何空間中的正交性。

它必須清晰明確，而不是混淆。

2.意義：歸一化可以清楚地看到二次函式的對稱軸，以及它是否與x軸有交集，更容易知道x更好找到y。

二次型別的標準型和規範型的區別在於係數不同，變換不同，所有專案都不同。

首先，係數不同。

1.標準型：標準型的係數可以是任意常數。

2.規範型：規範型的係數只能為-1,0,1。

二是轉化不同。

1.標準型：同一實對稱矩陣a可以有多個標準型。

2.規範型別：同一實對稱矩陣a的規範型別是唯一的。

3.所有專案都不同。

1.標準型：標準型的所有項均為平方項，所有平方項的係數均為1。

2.規範型：所有規範型專案都是方項。

線性代數是數學的乙個分支，其研究物件是向量、向量空間（或線性空間）、線性變換和有限維線性方程組。

向量空間是現代數學中的乙個重要課題，因此，線性代數在抽象代數和泛函分析中被廣泛應用，線性代數可以通過解析幾何具體表示。

線性代數理論已推廣到運算元理論。 由於科學研究中的非線性模型通常可以近似為線性模型，因此線性代數在自然科學和社會科學中被廣泛使用。

f x +2x +5x +2x x +2x x +8x [x +2x （x +x ）]2x +5x +8x x （x +x +x ） x +x ） 2x +5x +8x x （x +x +x ） x +6x x +4x （x +x +x ） x +3x ） 5x ，使 y x +x +x ，y x +3x ， y x ， 則 x y -y +2y ， x y -3y ， x y ，所以在這種線性變換下。

f＝y₁²+y₂²-5y₃².