如何直觀地理解拉格朗日插值？

拉格朗日插值是一種多項式插值方法，以法國 18 世紀數學家約瑟夫·拉格朗日的名字命名。 在許多實際問題中，函式被用來表示某種內部關係或規律，許多函式只能通過實驗和觀察來理解。 例如，如果在實踐中觀察到乙個物理量，並且在幾個不同的地方獲得了相應的觀測值，則拉格朗日插值方法可以找到乙個多項式，該多項式恰好可以獲得每個觀測點的觀測值。

這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。 在數學上，拉格朗日插值給出了乙個多項式函式，該函式正好穿過二維平面上的幾個已知點。 拉格朗日插值最早由英國數學家愛德華·沃林（Edward Warring）於1779年發現[1]，不久之後（1783年）由萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler）再次發現。

1795年，拉格朗日在他的《師範學校數學基礎課程》一書中發表了這種插值方法，從那時起，他的名字就與這種方法聯絡在一起拉格朗日插值是一種多項式插值方法。 它是使用最少次數的多項式構造一條平滑曲線，使曲線穿過所有已知點。 例如，以下 3 個點的坐標是已知的：

x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).那麼結果是：y=y1l1+y2l2+y3l3，l1=（x-x2）（x-x3） （（x1-x2）（x1-x3）），l2=（x-x1）（x-x3） （（x2-x1）（x2-x3）），l3=（x-x1）（x-x2） （（x3-x1）（x3-x2））

分段線性拉格朗日插值 % 命令格式：y=lagrange1（x0，y0，x） %x0 為節點向量，y0 是對應的函式值向量，%x 為插值點向量，返回值 y 為 x 處的函式近似向量。 插值方法為：

函式 f （x） 用於將某個區間內幾個點的函式值代入，以形成乙個適當的特定函式，取這些點的已知值，並將該特定函式的值作為區間中其他點的函式 f （x） 的近似值，稱為插值。 目的是估計函式在其他點的值。 另一方面，拉格朗日插值是一種插值。

你想說什麼......為？在金融領域，插值用於計算內部收益率 （IRR）。 <>

拉格朗日插值和牛頓插值的結果與餘數相同，因為它們都是由n個多項式插值得出的，當然是一樣的，區別在於：拉格朗日插值法是通過構造n個n+1個n個基本多項式得到的，然後線性組合（結果當然是n乘以多項式），牛頓插值是通過遞迴得到乙個F（x）=F（X0）+（X-X0）f[X0，X1]+（ x-x0）（x-x1）f[x0，x1，x2]..x-x0)..

x-x(n-1))f[x0,x1...xn]可以通過代入來得到（其實一樓總結得很深，對不起，我還沒有達到那個境界，呵呵） 另外，拉格朗日插值法在求每個基本多項式時會用到所有這些節點，所以如果需要再加乙個節點，就需要再次找到基本多項式，這需要大量的工程， 所以數學家發明了牛頓方法，你看上面的公式，如果你再加乙個節點，你只需要在它後面加乙個（x-x0）（x-x1）就行了......x-x(n-1))(x-xn)f[x0,x1...

xn，x（n+1）]？<>

基函式是函式的固定形式，即僅在該函式的基礎上發生變化而不丟失的函式。 給定 n+1 個控制頂點 pi（i=0 n） 的示例，則貝塞爾曲線定義為： p（t）= bi，n（t）pi u [0,1] 其中：

bi，n（t） 稱為基函式。 拉格朗日插值公式是指在節點上給出節點的基函式，然後對基函式進行線性組合的插值多項式，組合係數為節點函式的值。 線性插值也稱為兩點插值，函式 y = f （x） 在給定的互差 x0 上，x1 的值是 y0 = f （x0），y1 = f （x1） 線性插值是構造乙個初級多項式 p1（x） = ax + b，使其滿足條件 p1 （x0） = y0 p1 （x1） = y1，其幾何解釋是一條直線通過已知點 a （x0， y0）、b（x1， y1）。

線性插值計算方便，應用廣泛，但由於它使用直線而不是曲線，因此通常要求[x0，x1]相對較小，並且f（x）在[x0，x1]上變化相對平滑，否則線性插值的誤差可能會非常大。 為了克服這個缺點，有時用簡單曲線來逼近復曲線，最簡單的曲線是二次曲線，二次曲線是用來逼近復曲線。 簡單來說，就是用一些易於計算和處理的函式來代替原來的函式。

當然，目的是找到乙個無法準確確定的中間值，但為了減少錯誤、工作量和複雜性，這些函式通常被替換並與主曲線（直線）或二次曲線相結合。 這樣就可以獲得一定程度的精度，並達到精度和便利性的平衡，一言以蔽之：好又經濟。

首先，含義不同：

它們都被賦予 n+1 個不同的插值節點，以找到一條近似於待插值函式曲線的 n 階代數曲線，這稱為代數插值。 拉格朗日插值代數和牛頓插值都屬於代數插值的範疇。

拉格朗日插值和牛頓插值的結果與餘數一致，因為它們都是由n次多項式插值的。

二、計算方式不同：

拉格朗日插值法是通過在線性組合中構造n+1個n階基本多項式而得到的。 牛頓法插值是通過遞迴獲取每個階差的商來計算的公式，例如 f（x）=f（x0）+（x-x0）f x0，x1 +（x-x0）（x-x1）f x0，x1，x2 +（x-x0）（x-x（n-1））f x0，x1，xn。

牛頓插值的特點是：

每增加乙個點不會導致之前的重新計算，只會計算新點。

假設 n+1n+1 個點相對於多項式函式 ff 的值為：（x0，f（x0）），x1，f（x1）），x2，f（x2）），xn，f（xn）），找到這個多項式函式 f。

讓我們從找到滿足兩個點（x0，f（x0）），x1，f（x1））的函式f1（x）開始。

假設 f1（x）=f（x0）+b1（x x0）f1（x）=f（x0）+b1（x x0），加乙個點 （x0， f（x0））， x1， f（x1））， x2， f（x2）），求函式 f2（x）：滿足這三個點

假設 f2（x） = f1（x） + b2（x x0）（x x1）。

參考以上內容：百科全書-牛頓插值。

首先，性質不同。

1.牛頓插值：代數插值法的一種形式。 牛頓差值引入了差分商的概念，使得當差值節點增加時很容易計算。

2.拉格朗日插值：滿足插值條件且階數不超過n的多項式存在且唯一。

其次，公式的含義不同。

1.牛頓插值法：牛頓差分作為一種常用的數值擬合方法，因其計算簡單、計算點多、邏輯清晰、程式設計方便等特點，在實驗分析中得到了廣泛的應用。

特別是在實驗中，當只能測量離散資料點或用數值解表示相應的關係時，可以用牛頓插值公式擬合離散點，以獲得更準確的函式解析值。

2.拉格朗日插值：在許多實際問題中，函式被用來表示某些內部關係或規律，許多函式只能通過實驗和觀察來理解。 如果實際觀測到乙個物理量，並且在幾個不同的位置獲得相應的觀測值，則拉格朗日插值方法可以找到乙個多項式，可以準確提取每個觀測點的觀測值。

如果 n 階多項式 lj（x）（j=0,1,..n） 在 n+1 個節點中，x0 等於 j）， j，k=0,1,..n

則 n+1 n 階多項式 l0（x）， l1（x）， .，ln（x） 是節點 x0 和 x1 的,..n xn 上的拉格朗日插值基函式。

對於 li（x）（i=0,1,..n），有 （習 的 k 次方） （li（x）），i 從 0 到 n 和 =x 的 k 次方，k=0,1,..n，特別是當 k = 0 時，有 li（x），i 從 0 到 n 並且 = 1

拉格朗日插值公式由給定的 n+1 點 m1（x1，y1），m2（x2，y2） ,...在飛機上mn+1（xn+1，yn+1）。

拉格朗日插值公式是指在節點上給出節點的基函式，然後以線性組合形式進行基函式的插值多項式，組合係數為節點函式的值。 線性插值也稱為兩點插值。

知道函式 y=f（x） 在給定的互差 x0，x1 上的值是 y0=f（x0），y1=f（x1） 的線性插值是構造乙個主多項式：p1（x）=ax+b，使其滿足條件：p1（x0）=y0，p1（x1）=y1，其幾何解釋是一條直線， 通過已知點 A（x0， y0）， b（x1， y1）。

線性插值計算方便，應用廣泛，但由於它使用的是直線而不是曲線，所以一般要求[x0，x1]比較小，f（x）在[x0，x1]上變化比較平滑，否則線性插值的誤差可能很大。 為了克服這個缺點，有時使用簡單曲線來近似複雜曲線。

最簡單的曲線是二次曲線，即使用二次曲線來近似複雜曲線的情況。 特別是，例如，對於自變數的兩個值，給出線性函式的（n=1）對應值，並確定線性函式。 從幾何上講，一條直線由它的兩個點決定。

拉格朗日插值和牛頓插值的異同：

1.含義不同：給它們n+1個不同的插值節點，求出一條近似待插值函式曲線的n階代數曲線，稱為代數插值; 拉格朗日插值代數和牛頓插值都屬於代數插值的範疇。 拉格朗日插值和牛頓插值的結果與餘數一致，因為它們都是由 n 次多項式插值的好值。

2.計算方式不同：拉格朗日插值法是通過構造n+1n階基本多項式和線性組合得到的。 牛頓法插值是通過遞迴獲取每個階差的商來計算的公式，例如 f（x）=f（x0）+（x-x0）f x0，x1 +（x-x0）（x-x1）f x0，x1，x2 +（x-x0）（x-x（n-1））f x0，x1，xn。

對於函式 y=f（x），函式在 n+1 個分離點上的值要求不超過 1 度n多項式。

這樣，在節點上有。

這稱為插值多項式。

明顯地n+1滿足係數。

方程的係數矩陣為

它顯然是范德蒙行列式，只需要彼此不同，方程組就可以得到解。

還有乙個截斷錯誤需要考慮。

拉格朗日插值多項式。

首先，構造乙個基函式。

並且此功能滿足條件。

於是得到了拉格朗日插值法。

當使用滾輪定理時，可以推斷出任何 x 都屬於 [a， b] 插值多項式的餘數。

如銘文所示：通過拉格朗日插值。