線性代數非齊次線性方程組的問題

由於 r（a）=2，則說 n=3-r（a）=1，並且由於 a，b 是它的兩個線性獨立解向量，因此 ax=0 的基本解系為 （a-b），該非齊次線性方程組的一般解為 k1（a-b）+a。

因為r（a）=3，所以說n=4-r（a）=1，a（a+b）=2b，a（3b-2c）=b，所以a（a+b-6b+4c）=0，即a+b-6b+4c是ax=0的解，因為a+b=（2,4,6,8），3b-2c=（1,3,5,7），所以第二方程組的基本解系是（0，-1，-2，-3），1 2a（a+b）=b，所以ax=0的一組解是（1,2,3,4，），這個一般解釋是（1,2,3,4，）+k1（0，-1，-2，-3）。

證明：方程組 ax=b 有乙個解。

r(a)=r(a,b)

r(a^t)

r(a^t;

b^t)-(a^t;

b t） 是上塊和下塊的矩陣。

b t 可以使用。 乙個t。

行向量。 組線性表示。

a^ty=0

和。 a^t;

b t）y=0。

任何 ty=0 的解向量 y0 都是 b ty=0 的解向量。

也可以這樣想：

方程組 ax=b 有乙個解。

b 可以由 a 製造。

列向量。 A1組 ,..線性表示。

b t 可以由乙個 t 的行向量群 a1 t ,..t 線性表示。

同上。

未知數 n = 4，增強矩陣的秩 = 係數矩陣的秩 r（a） = 2，自由未知數的 n-r（a） =2。

只要每個未知量不顯式等於某個常數，就可以選擇它作為自由未知數。

您可以選擇 x3、x4、x2、x3、x2、x4。

因為已經成為階梯式，所以一般不選擇x1（不是不可能）。

傳統上，從後到前選擇，最後選擇 n-r（a） = 2。 所以選擇 x3、x4。

ax=0 當沒有非零解時。 則 a 是全秩矩陣。 那麼 ax=b 必須有乙個解決方案。

當 ax=0 有無限個解時，a 一定不是全秩矩陣，ax=b 的解沒有解和無限個解。

無解：r（a）≠r（a|b)

無窮解：r（a） 等於 r（a|b)。而且這不是乙個完整的等級。

當 ax=b 沒有解時，我們知道 ax=0 必須有無限個解。

當 ax=b 有乙個唯一的解時，我們知道 a 是乙個全秩矩陣，而 ax=0 只有乙個零解。

具有零解 （r（a）=n） 或無限解 （r（a） 零解、非零唯一解的齊次線性方程組。 它不能同時發生。

如果係數矩陣的秩為2，則對應齊次線性方程組的基本解系統中的解向量個數為4-2=2，三個解a、b、c的總和權重可以作為齊次線性方程的基本解組，特殊解為2

因此，一般解為 a2+k1（a-b）+k2（c-a），其中 k1、k2 是任意常數。

首先，寫出擴充矩陣，把它變成最簡單的一行，過程如下。

x1 和 x2 是步進頭，因此 x3 和 x4 是自由未知數。 設 x3=t1 和 x4=t2 找到一般解並用向量的形式表示，然後可以得到基本解系統和固定解，過程如下。

證明：方程組 ax=b 有乙個解。

> r(a)=r(a,b)

> r(a^t) = r(a^t; b^t)--a^t;b t） 是上塊和下塊的矩陣。

> b t 可以用一組行向量線性表示，對於 a t<=> a ty=0 和 （a t; b t）y=0 具有相同的解<=>任何解向量 y0 都是 ty=0 的解向量。

也可以這樣想：

方程組 ax=b 有乙個解。

>b 可以由 a 的列向量組 a1 ,..<=>b t 的線性表示可以通過 t 的行向量群 A1 T ,..t 線性表示與上述相同。

ax=b 在 a 的列空間中有乙個 solution=>b。

a ty=0 表示 y 位於 a 列空間的正交補碼中，如果 b ty=0 表示 b 位於 a 的列空間中。

這兩個條件是相互對等的。

樓上的計算顯然是錯誤的。

不可能有那麼多分數。

基本轉換可以逐步完成。

寫出增強矩陣 （a， b） =

4 5 3 3 -1 4 r3-r1，r4-2r2，r1-r2~1 1 1 1 1 2

0 -1 1 1 5 4 r2-2r1，r4+r3~1 1 1 1 1 2

0 0 0 0 0 0 r1-r2，r3-r2~1 0 2 2 6 6

所以方程組的一般解是 。

C1（-2,1,1,0,0） t+c2（-2,1,0,1,0） t+c3（-6,5,0,0,1） t+（6，-4,0,0,0） t，c1c2c3 是常數。

求解齊次線性方程組一般是對係數矩陣進行一次主行變換，然後求一般解。

求解非齊次線性方程常用的解有兩種，一種是在未知數和方程數相等時使用克萊默規則，但當未知數較多時比較麻煩，另一種是在增強矩陣上進行初等行變換，得到一般解。

克萊默法則通常不用於求解方程組，但更常用於確定方程組的解。 如果齊次線性方程的係數矩陣行列式不等於 0，則只有乙個非零解，如果非齊次線性方程的係數矩陣不等於 0，則存在唯一解。