最小二乘法的基本原理是什麼？ 最小二乘的基本原理是什麼？

最小二乘法是高斯在1795年預測恆星軌道的工作中提出的[1]。 後來，最小二乘法成為估計理論的基石。 由於最小二乘法結構簡單，程式設計難度大，受到高度重視和廣泛應用。

如果使用標準表示法，則最小二乘估計值可以表示為：

ax=b (2-43)

將上式中的解最小化，可以得到下式中的偽逆：

a'ax=a'b (2-44)

a'a)^(1)a'ax=(a'a)^(1)a'b （2-45） 由於。 a'a)^-1a'A=I （2-46） 所以有。 x=(a'a)^(1)a'b（2-47）這是最小二乘的一次性補全演算法，是一種現代遞迴演算法，更適合於計算機識別。

最小二乘法是最基本的識別方法之一，但它有兩個缺點[1]：第一，當模型雜訊為彩色雜訊時，最小二乘估計不是無偏且一致的估計; 其次，隨著資料的增長，會出現所謂的“資料飽和”現象。 為了解決這兩個問題，應運而生的識別演算法，如遺忘因子法、有限記憶法、偏差補償法、增強最小二乘法、廣義最小二乘法、輔助變數法、兩步法和多級最小二乘法等。

百科全書：當我們研究兩個變數（x，y）之間的相互關係時，我們通常會得到一系列資料對（x1，，y2...）。xm,ym）；在 x-y 笛卡爾坐標系中繪製這些資料，如果發現這些點靠近一條直線，則可以為這條直線製作如下方程（方程 1-1）。

yj = a0 + a1 習（等式 1-1）。

其中：a0、a1 是任意實數。

為了建立這個線性方程，需要確定a0和a1，並應用最小二乘原理，以實測值yi的平方和計算值（yj=a0+a1x）（yi-yj）2的離散（yi-yj）作為“優化準則”。

順序：= （yi - yj）2（等式 1-2）。

將（方程1-1）代入（方程1-2）得到：

（yi - a0 - a1xi）2 （方程 1-3）。

當 （yi-yj） 是最小平方時，您可以使用該函式求 a0 和 a1 的偏導數，使這兩個偏導數等於零。

式 1-4） 式 1-5）。

即：m a0 + 習 ） a1 = yi（方程 1-6）。

習 ） a0 + xi2 ） a1 = （習，yi） （方程 1-7）。

得到關於 a0 和 a1 的兩個方程組是未知數，並且這兩個方程組的解得到：

a0 = （ yi） m - a1（ 習） m （方程 1-8）。

a1 = [m 習 yi - 習 yi）] [m xi2 - 習）2 ）] 方程 1-9）。

在這種情況下，我們將 a0 和 a1 代入 （方程 1-1），（方程 1-1） 是我們的回歸元線性方程，即數學模型。

在回歸過程中，不可能通過每個回歸資料點（x1、y1 x2,y2...xm，ym），為了判斷相關公式的質量，可以使用相關係數“r”、統計量“f”和剩餘標準差“s”來判斷;“r”越接近 1 越好; “f”的絕對值越大越好; “s”越接近 0 越好。

r = [ xiyi - m （ 習 m）（ yi m）] sqr （方程 1-10） *

在（方程1-1）中，m是樣本量，即實驗次數; 分別用於 習 和 yi 中任意一組實驗的 x 和 y 值。

最小二乘法：

總色散不能是 n 個色散的總和。

來表示它，通常用色散的平方和來表示，即。

作為總離散，並使其最小化，使回歸線是所有直線中 q 的最小值，這種使“離散最小值的平方和”的方法稱為最小二乘：

由於絕對值使計算成為常數，因此在實際應用中，人們更喜歡使用：q=（y1-bx1-a） +y2-bx-a）+yn-bxn-a）。

這樣，問題就歸結為這樣乙個事實，即當取 a，b 時 q 是最小的，即到點線 y=bx+a 的“總距離”最小。

使用最小二乘法在回歸線性方程中求 a，b 具有以下公式。

最小二乘法原理：找到一條直線，使圖上所有點的縱坐標差的平方和最小，這實際上是最小的方差。

最小二乘法（也稱為最小二乘法）是一種數學優化技術。 它通過最小化誤差的平方和來尋找資料的最佳函式匹配。 使用最小二乘法可以很容易地獲得未知資料，並且所獲得資料的懺悔與實際資料之間的誤差平方和最小化。

最小二乘法也可用於曲線擬合。 其他一些優化問題也可以通過最小化最大手指向前的能量或最大化最小二乘的熵來表示。

最小二乘法的原理是將直線的位置確定為“殘差的最小平方和”。 除了計算方便之外，最小二乘法得到的估計器還具有優異的特性。 這種方法對異常值非常敏感。

最小二乘法在交通運輸科學中的應用：

交通發生的目的是建立分割槽產生的交通量與分割槽的土地利用和社會經濟特徵等變數之間的定量關係，並估算規劃年度內每個細分產生的交通量。 由於行程有兩個端點，因此我們分別分析乙個地區產生的流量和吸引的流量。 通常有兩種方式發生流量**：

回歸分析和聚類分析。

回歸分析是基於因變數和乙個或多個自變數的統計分析，建立因變數和自變數之間的關係，最簡單的情況是單變數回歸分析，一般公式為：y = +x 其中y為因變數，x為自變數，為回歸係數。 如果使用上述公式生成單元的流量，則所有變數都標有以下下標 i; 如果用它來研究區域交通吸引力，請使用以下標記 j 標記所有變數。

普通最小二乘法的原理和正導數如下：

最小二乘法是統計學中非常重要的方法，普通最小二乘法（OLS）是最基本和最常用的方法之一，其主要思想是，當每個點到擬合模型的距離最短（殘差最小）時，模型是最優的。

但是，如果直接用距離來計算，就會出現正負偏移的情況，如果絕對值在最小值線中計算，計算會很麻煩，所以用距離的平方和來計算，所以最小二乘法實際上可以翻譯成最小平方和法。

最小二乘法是統計學中非常重要的方法，普通最小二乘法（OLS）是最基本和最常用的單指懺悔法，其主要思想是，當每個點到擬合模型的距離最短（最小殘差）時，模型是最優的。

但是，如果直接用距離來計算，就會出現正負偏移的情況，用絕對值計算會讓計算非常繁瑣，所以用距離的平方和來計算，所以最小二乘法實際上可以翻譯為最小平方和法。

後人研究，最後認為確實是高斯首先發現了最小二乘法，但在當時並沒有引起太大的反響，直到勒讓德的研究結果出來，高斯幫助天文學家通過最小二乘法成功**穀神星的軌道，人們才認識到這種方法的重要性。

只有這樣，人們才真正意識到最小二乘的重要性。 雖然高斯是第乙個發現最小二乘法的人，但首先系統地總結並引起數學界關注的是勒讓德，這兩位數學家同樣值得尊敬。

最小二乘法是一種數學優化技術; 它通過最小化誤差的平方和來尋找資料的最佳函式匹配。

y 和 x 之間的關係擬合為線性關係，所有取樣點都圍繞這條線，每個點與這條線有一定的距離，所有距離的平方和，並找到與其最小值相對應的線的斜率，即最小二乘估計。

確定 alpha 和 beta（引數）的值，使殘差的平方和最小化。

最小二乘法（也稱為最小二乘法）是一種數學優化技術。 它通過最小化誤差的平方和來尋找資料的最佳函式匹配。 使用最小二乘法可以很容易地獲得未知資料，並且這些計算資料與實際資料之間的誤差平方和最小化。

最小二乘法也可用於曲線擬合。 其他一些優化問題也可以通過使用最小二乘法最小化能量或最大化熵來表示。

當我們研究兩個變數（x，y）之間的相互關係時，我們通常會得到一系列資料對（x1，y1，x2，y2...）。xm , ym)；在 x-y 笛卡爾坐標系中繪製這些資料，如果發現這些點靠近一條直線，則可以為這條直線製作如下方程（方程 1-1）。