嘗試在極坐標系中推導柯西 黎曼方程

柯 西。 黎曼方程推導如下：它由兩個方程組成：（1a）和（1b），它們主要基於u（x，y）和v（x，y）的函式。

通常，u 和 v 被視為復函式的實部和虛部。

f(x + iy) = u(x,y) +iv(x,y)。如果 u 和 v 在開集 c 上是連續的，則 f=u+iv 是純的。

這個方程組最早出現在D'Alembert中。

（d）'alembert 1752)。後來的尤拉。

將此方程組與解析函式相結合。

鏈結（Euler 1777）。 柯西（柯西，1814）隨後利用這些方程來構建他的函式理論。

柯西黎曼方程如下：

柯西黎曼方程是一種數學工具，用於描述復平面中復變數函式的解析性質。 它分別由法國數學家柯西和德國數學家黎曼在19世紀中葉獨立提出，因此得名柯西-黎曼方程。 下面將從多個角度解釋這個等式的含義。

1.複雜變數函式。

復函式意味著輸入是複數，輸出也是複數，如f（z）=z。 與實函式不同，在復平面中，複數既可以看作是具有大小和方向的點，又可以看作是向量，這使得復函式的性質更加豐富和複雜。

2.解析函式。

解析函式是在其定義域內隨處可見的函式，導數也是該定義域內的解析函式。 例如，e z、sinz、cosz 等都是解析函式，諸如 |z|、argz 等都不是。

3.柯西黎曼方程的形式。

柯西黎曼方程的形式為：u = v y，u y = -v x，其中 u（x，y） 和 v（x，y） 是復函式 f（z）=u（x，y）+iv（x，y） 的實虛部分，x 和 y 是復平面上的自由變數。

4.柯西黎曼方程的含義。

柯西黎曼方程的形式反映了復變數函式f（z）的解析性質，即複數場中的微小區域性變化可以高度**和可微分。 柯西黎曼方程對於複雜分析領域的研究和應用至關重要，如黎曼對映定理、共形幾何、超純函式等。

5.柯西黎曼方程的應用。

柯西黎曼方程不僅在複雜分析中具有廣泛的應用，而且在物理學、工程學、電腦科學和金融學領域也發揮著重要作用。 例如，在電力工程中，柯西黎曼方程可用於研究電流和電勢的分布; 在金融學中，它用於研究波動性和金融市場模型的建立。

6.柯西黎曼方程的研究進展.

近年來，隨著數學的深入發展和計算機技術的不斷進步，柯西黎曼方程的研究領域也在不斷擴大。 基於深度學習的復函式逼近和高斯過程回歸等新興技術為柯西黎曼方程的研究提供了更先進、更高效的數值方法。

柯西-黎曼方程是函式的復微分性（或總純度）的充分和必要條件（Ahlfors 1953，準確地說，設 f（z） = u（z） +iv（z） 是複數 z c 的函式，如果存在此極限，則定義點 z0 處 f 的復導數。 如果存在此極限，則可以取沿實軸或虛軸的 h 0 極限; 在這兩種情況下，它應該給出相同的結果。

從實軸的近似沿兩個軸產生與從虛軸近似的 f 近似相同的導數，即這是點 z0 （2） 處的柯西-黎曼方程。 相反，如果 f：c c 作為對映到 r2 的函式是可微的，則 f 是複數可微的，當且僅當 Cauchy-Riemann 方程成立時。

物理解釋：柯西-黎曼方程（pólya & szeg 0 2 1978）的解釋與復退化理論無關。 讓 u 和 v 滿足 r2 的開子集上的柯西-黎曼方程，將向量場視為（實數）兩個分量的向量。 然後第二個柯西-黎曼方程 （1b） 斷言沒有旋轉：

第乙個柯西-黎曼方程 （1a） 斷言向量場是被動的（或散射的）：根據格林定理和發散定理，這樣的場是保守的，沒有源，整個開放域的淨流量為零。 （這兩點在柯西積分定理中組合為實部和虛部。

在流體力學中，這樣的場是勢流（Chanson 2000）。 在靜磁學中，這種向量場是沒有電流的平面區域中靜磁場的模型。 在靜電學中，它們提供了不包含電荷的平面區域中的電場模型。

在笛卡爾坐標中，f（z） 表示為 f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中 z 表示為 z=x+iy，同樣在極坐標中，變數為 r 和 ，因此 f（z） 表示為 f（z）=u（r， ）iv（r，其中 z 表示為 z=re （i）。 這裡把 r 和 v 看作是中間變數，即 u 和 v 都是關於 x 和 y 的復合函式，根據極坐標和直角坐標 r= （x 2+y 2）， =arctan（y x） 的變換關係，有 u'x=u'r*r'x+u'θ*θ'x=cosθ*u'r-rsinθ*u'，以同樣的方式找到u'y,v'x 和 v'y，柯西·黎曼方程 u 與笛卡爾坐標'x=v'y，u'y=-v'x，得到罪惡 *u'r+rcosθ*u'θ=-cosθ*v'r+rsinθ*v'θ，cosθ*u'r-rsinθ*u'θ=sinθ*v'r+rcosθ*v'，兩種型別可以組合起來得到u'r=rv'θ，v'r=-ru'，即極坐標中的柯西黎曼方程。

復分析中的柯西-黎曼微分平方是兩個偏微分方程，它們為可微函式在開集中成為完全純函式提供了充分和必要的條件，並以柯西和黎曼尤利的名字命名。 這個方程組最早出現在達朗貝爾的著作中。 後來，尤拉將這個方程組與解析函式聯絡起來。

柯西隨後使用這些方程來構建他的函式理論。 黎曼的函式理論發表於1851年。