已知序列 an 滿足條件 1 2a1 1 2 2a2 1 2nan 2n 5

解：（1）設n=1得到1 2a1=2*1+5=7，所以a1=142）1 2a1+1 2*2a2+。1/2nan= 2n+5 (1)1/2a1+1/2*2a2+..

1 2（n-1）a（n-1） = 2（n-1）+5 （n 大於或等於 2） （2）.

1）-（2） 給出 n=4，所以 an=4n（n 大於或等於 2）從 （1） 知道 an=4n（n 大於或等於 2）。

14 （n=1）

n 1，則 1 2a1 = 2*1 + 5 由公式得到，得到 a1 1 14;

n>1，an＝1/2a1+1/2*2a2+..1/2*(n-1)a(n-1)+1/2nan= 2n+5 (1)

a(n－1)＝1/2a1+1/2*2a2+..1/2*(n－1)*a(n－1)=2(n－1)+5 (2)

使用方程（1）-（2）得到1 2*n*an=2，則an=1 4nan的一般公式為an=1 14 （n=1）1 4n （n>1）。

當 n=1 時，1 2a1=7 a1=14 1 2a1+1 2*2a2+。1/2*nan=2n+5 1/2a1+1/2*2a2+..1 2*nan+1 2*（n+1）a（n+1）=2（n+1）+5 減去兩個公式得到 1 2*（n+1）a（n+1）=2 所以 a（n+1）=2*（n+2） 所以 a1=7 當 n 不等於 1 an=2*（n+1） 時。

用 1 2a1....1 2 nan+1 2 （n+1）an+1=2（n+1）+5 用作 2 減法的方程，然後將項移位。

1/2a1+1/2^2a2+..1/2^nan=2n+5……1 然後將 an 替換為 an+1 以獲得它。

1/2a1+1/2^2a2+..1/2^nan+1/2^(n+1)a（n+1）=2(n+1)+5……22-1.

1/2^(n+1)a（n+1）=2

求解 an+1=2 （n+2）。

相應地，有 an=2 （n+1）。

或者通過條件知道數級數是差數列，很容易找到它的通式，然後再求乙個通式。

解決方案：從問題中得出。

an+1=2an+1

an+1)+1=2an+2

an+1)+1=2(an+1)

an+1)+1]/(an+1)=2

當 n=1.

an+1=a1+1=2

當 n=2.

由 an+1=2an+1 獲得。

a2+1=2a1+1+1=4

因此，數字列是乙個比例級數，公共比率為 2，第一項為 2。

證明：an+1+1=2an+2=2（an+1），a1=1，a1+1=2≠0

因此，數級數是乙個等比例級數，其中 2 為第一項，2 為公比

（1） 證明： an +1 （4an 2） （an+1 2） 4an 2） an （an+1 2） an+1

4 2 an 1 2 an+1 1 an+1 1 an 3 2 是一系列相等的差。

2)∵1/an+1－1/an＝3/2 ∴1/an＝1/a1＋(n－1)×3/2＝(3n＋2)/2 ∴an＝2/(3n＋2)

假設 AK·AK+1 是術語 AM

am＝ak·ak+1＝2/(3k＋2)·2/(3k＋5)＝4/[(3k＋2)·(3k＋5)]＝2/(3m＋2)

6m＋4＝9k²＋21k＋10 ∴m＝(3k²＋7k)/2＋1＝k(3k＋7)/2＋1

k（3k 7） 是 2 m n* 的倍數

存在 ak·ak+1 是 中的項，是項 k（3k 7） 2 1。

當 n 1 和 n z.

a1+1/（2²）*a2+……1/（2^n）*an=2n+5½a1+1/（2²）*a2+……1/（2^n）*an+1/（2^（n+1））*a（n+1）=2（n+1）+5

減去兩個公式得到。

1/（2^（n+1））*a（n+1）=2

a（n+1）=2*2^（n+1）

a（n+1）=2^（n+2）

當 n 2 和 n z 時，an=2 （n+1） 當 n=1 時，即 a1=2*1+5

a1=14所以，級數的一般公式是an=14（n=1），an=2（n+1）（n 2，n z）。

這兩個步驟顯然是從遞迴值和 a2 值遞迴推導而來的，其他項可以根據遞迴公式找到。