函式證明問題50，函式證明問題？

如果函式 f（x） 滿足 f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），（x r）並且已知 f（x） 是 r 上的單調函式。

驗證：f（x） 是乙個指數函式。

證明：1）。設 x1=x2=0，則 f（0）=f2（0） 給出 f（0）=0 或 f（0）=1

當 f（0）=0 時，設 x1=x， x2=-x那麼 f（0）=f（x）f（-x）=0

是的，您可以得到 f（x） 或 f（-x）=0，因為 x 是任意選擇的。 有 f（x） 0它與 f（x） 是 r 上的單調函式相矛盾，因此 f（0）=1

2).設 x1=x2=x，則 f（2x）=f 2（x）。 派生它。

f'(2x)=f(x)f'（x） 除以 f（2x） = f 2（x）。

f'(2x)/f(2x)=f'（x） f（x），它等於乙個常數 c，因為它對任何 x 都為真。 即。

f'(x)/f(x)=c

求解的過程大致如下：

dlnf(x)=cdx

lnf（x）=cx+d d 是積分常數。

f(x)=d'e^(cx)=d'(e^c)^x，d'=e^d

考慮到 x=0，f（0）=1可知的 d'=1

讓 e c=a 再次，你可以得到它。

f(x)=a^x

是乙個指數函式。

f'(x)=lna*a^x

設 x=0，即可找到'(0)

代入此，得到指數函式 as。

f(x)=e^[f'(0)*x]

設 x1 = 0，則我們得到 f（0+x2）=f（0）·f（x2） 所以 f（0）=1

並且已知 f（x） 是 r 上的單調函式。

所以當 x>0， f（x） > 1

則設 x1+x2=0，則 f（x1）·f（x2）=1，即 f（-x）=1 f（x）。

所以 f（x） 恆大在 0

眾所周知，f（x） 是 r 上的單調函式。

所以 f（x） 是乙個指數函式。

因此，該命題得到了證明。

根據條件，知道 f（0）=f（0）f（0），我們得到 f（0）=0 或 f（0）=1 如果 f（0）=0，那麼對於任何 x，都有 f（x）=f（x）f（0）=0，它與函式單調不一致。 因此，f（0）=1

和 f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]lim(h->0)f(x)[(f(h)-f(0))/h]f(x)f'(0)

求解這個微分方程得到 f（x）=ce [f'（0）x] 和 f（0）=1，所以 c=1，所以 f（x）=e [f'(0)x]

校樣流程如下：

大致讓我談談這個想法，對於這種型別的證明，首先不要太麻煩，兩個兩個比較再找大小，基本上需要3個比較。

比較兩個函式大小的基本思想，假設函式 f（x）、g（x），然後建立乙個函式 h（x） = f（x）-g（x），求 h（x） 的導數，然後計算 h（x） 在定義域中的增減，並計算最大最小值。

可導凸函式只有乙個最大值，因此在區間邊界處達到最小值。

如果還是不明白，可以考慮g，它明顯先是正後負，所以g先增後減，在邊界處達到最小值，區間內的值就是最小值。

類似地，可導數凹函式只有乙個最小值，即凹函式的最小值。

由於手樣神經叢 （x） （x）=f（x） g（x），f（x） g（x） 在面積 （a，b） 中單調增加，函式 （x）=max 和 （x）=min 在區間 （a，b） 中也單調增加。

1、f1（x）=ax 2，代入（1,1）得到a=1，所以f1（x）=x 2，f2（x）=k x，y=x連線到交點。

根數 k，根數 k） 或 （-根數 k， -根數 k） 因為兩個交點之間的距離是 8，所以兩點之間的距離由兩點之間的距離公式得到：8k=8 在根數下，所以 8k=64，所以 k=8 所以 f2（x）=8 x， f（x）=x 2+ 8 x，2，因為 f（x）=f（a） 所以 x 2+ 8 x=a 2+ 8 a，移位得到 （x 2-a 2） + （8 x-8 a） = 0， （x+a）（x-a） + （8a-8x） （ax）=0

提及公因數得到 （x-a） （x+a-8 ax） = 0，得到 x-a=0 或 x+a-8 ax=0，x+a-8 ax=0 到 ax 2+a 2x-8=0，因為 a>3

所以它的判別公式 =a 4+32a>0，所以 x+a-8 ax=0 有兩個不相等的實根，並且因為 x-a=0 給出了根 x=a

所以方程 f（x）=f（a） 關於 x 有三個實解。

證明： f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0） f（0）=0

f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）。

函式 y=f（x） 是乙個奇數函式。

取定義字段 r 上的任意 x10

當 x 0 再次為時，f（x） 0 為常數。

f(x2-x1)<0

即 f（x2）-f（x1）<0

f（x2） 函式 y=f（x） 是 r 上的減法函式。

如果 f（1）=-670，則從前面的證明中找到 f（x） 在 [-3,3] 處的最大值，因為 f（x） 是 r 上的減法函式，因此最大值是在 x=-3 和 f（a+b）=f（a）+f（b） 處獲得的。

f(-3)=f(-2-1)=f(-2)+f(-1)=f(-1-1)+f(-1)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)

同樣，函式 y=f（x） 是乙個奇數函式。

f(-1)=-f(1)

f(-3)=-3f(1)=-3*(-670)=2010

證明 f（a+b）=f（a）+f（b），設 a=b=0，得到 f（0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0 讓 b=-a，得到 f（0）=f（a）+f（-a）=0，即 f（-x）=-f（x），定義域 r

所以，f（x） 是乙個奇數函式。

2.套裝 x1>x2則 x1-x2>0，所以，f（x1-x2）<0 所以，f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）<0

即 f（x1） 所以，f（x） 是 r 的減法函式。

設 b = 0，f（a） = f（a） + f（0），所以 f（0） = 0。

設 b = -a， f（0） = f（a） + f（-a）。 所以 f（a）=-f（-a），所以它是乙個奇數函式。

設 a=x， b=-x。 所以 f（x）+f（-x）=f（0）=0。 當 x<0， -x>0， f（-x）<0， 則 f（x）>0

設 b=x，a>0，則 f（x+a）-f（x）=f（a）<0，所以它是乙個遞減函式。

一樓的第二步並不是完全謹慎地完成的。

套裝 x1>x2>0則 x1-x2>0，所以，f（x1-x2）<0 所以，f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）<0

也就是說，f（）-x2>0， f（-x1+x2）=f（-x1）+f（x2）=-f（x1）+f（x2）=-<0，所以 f（x1）-f（x2）>0 必須在 （負無窮大， 0） 中遞減。

所以在 r 上遞減。

請放大圖，顯然沒有 2y3=y1+y2（表示 y3 是 （x1，y1）（x2，y2））中點的縱坐標）。