不等式的證明，數學不等式的證明

在左邊，只有 3（A 2+B 2+C 2）-（A+B+C） 2>=03A 2+3B 2+3C 2-（A 2+B 2+C 2+2AB+2AC+2BC）=A 2+B 2+2AB+A 2+C 2+C 2+2AC+B 2+2BC=（A+B） 2+（A+C） 2+（B+C） 2>=0

當 a=b=c=0 時，取等號。

右側，只有證書 （A+B+C） 2-3（AB+BC+CA）>=0A2+B2+C 2+2AB+2AC+2BC）-3（AB+BC+CA）=（A-B） 2+（A-C） 2+（B-C） 2>=0。

首先 （x-y） 2>=0，我們得到：x 2+y 2>=2xy。 讓我們用這個不等式來證明這個結論：

a^2+b^2>=2ab

b^2+c^2>=2bc

c^2+a^2>=2ca

得到三個公式的總和;

2（a 2 + b 2 + c 2） > = 2ab + 2bc + 2ca （1）同時在兩邊加乙個2 + b 2 + c 2，得到：

3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2

這證明了第乙個不平等。

同樣，在等式 （1） 的兩邊加 ab+bc+ca 得到：

2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca>=3(ab+bc+ca)

即：a+b+c） 2>=3（ab+bc+ca）。

( 3a^4)-(4a^3b)+ b^4)= ( 3a^4)-(3a^3b)-a^3b+ （b^4)=3a^3(a-b)-b(a^3-b^3)=3a^3(a-b)-b(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(3a^3-ba^2-ab^2-b^3)=(a-b)[(a^3-b^3)+a^2(a-b)+a(a^2-b^2)]

a-b） 2（3a 2+2ab+b 2）=（a-b） 2[2a 2+（a+b） 2]（3a 4）-（4a 3b） + b 4） 大於或等於 0，因為 （a-b） 2、a 2、（a+b） 2 都大於或等於 0

反梁鏈法：假設x+y>2，則舊的y>2-xx 3+y 3>x 3+（2-x） 3=8-12x+6x 2=6（x-1） 2+2 2

即 x 3 + y 3 > 2 和銘文 x 3 + y 3 = 2 矛早起盾牌。

所以這個假設是不正確的，x+y<=2

因為對於任何實數 x，y 都存在不等式 2（x 2+y 2）>=（x+y） 2 成立，所以。

因此，A 2+b 2>=（1 2）（a+b） 2，c 2+d 2>=（1 2）（c+d） 2。

a^2+b^2+c^2+d^2

(1/2)(a+b)^2+(1/2)(c+d)^2=(1/2)[(a+b)^2+(c+d)^2]>=(1/2)*(1/2)*(a+b+c+d)^2=1/4

即 a 2 + b 2 + c 2 + d 2>=1 4

因為 3x 2+y 2+z 2-2x（y+z）=x 2+（x 2+y 2-2xy）+（x 2+z 2-2xz）=x 2+（x-y） 2+（x-z） 2=0， x=0， x-y=0， x-z=0，即 x=y=z=0