為了證明序列的極限，有必要用單調的定定理來證明它

首先，證明存在乙個上限，即對於任何 n，xn 小於或等於某個常數 c。

我們證明了 xn<=2 在數學上是歸納的。

2;2.設 xk<=2，x（k+1）= （2+x（k））<= （2+2）=2;

xn<2;

然後證明 xn 是單調遞增的：

如果我們已經知道 xn<=2，那麼 xn= （2+x（n-1））>= （x（n-1）+x（n-1））） = 2*x（n-1）>=

x(n-1)*x(n-1)=x(n-1)；上述推導基於 x（n-1）<=2

所以 xn>=x（n-1），所以 xn 是乙個單調增量序列。

以上證明了XN序列單調增加，並且有上限，因此存在極限。

實際上，這個系列的極限是2，計算極限可以這樣計算。

設 x 是 xn 的極限，取方程 xn = （2+x（n-1）） 兩邊的極限。

x= （2+x），解為 x=2，x=2 即可知

標題中的 an>0

取 bn=1 an，則 bn+1= [（an+1） an]= （1+1 an）= （1+bn）。

作為特徵方程 x= （1+x）， x>0，解為 x=（1+ 5） 2

bn+1-(1+√5)/2|=|√(1+bn)-(1+√5)/2|

1+bn-(1+√5)²/4|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|

bn-(1+√5)/2|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|

bn-(1+√5)/2|/|(1+√5)/2|

5-1)/2*|bn-(1+√5)/2|

0<|bn-(√5+1)/2|<(5-1)/2*|bn-1-(1+√5)/2|<.5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|

林（n）5-1） 2] （n-1）*|b1-(1+√5)/2|=0

lim(n→∞)0=0

誘捕定理得到lim（n）bn-（ 5+1） 2|=0

lim(n→∞)bn=(√5+1)/2=1/an

lim(n→∞)an=2/(√5+1)=(√5-1)/2

因為函式是有界的，所以函式的值範圍是有界的。

因此，在函式範圍內必須有乙個“最小上限”（supreme），並且由於 s 是乙個單調函式，它對應於任意小的 e>0，並且必須有 n>0，使得對於任何 x>n，都有 | f(x) -s | e

滿足限制的定義。

希望對你有所幫助。

（o ） 祝你學業順利

同濟教科書中對這個定理的解釋是：我們不證明這個定理，只在數線上給出它的幾何意義，大家可以參考。 如果要檢驗這個問題，你不檢驗定理證明，而是先證明某個數級數的單調性，然後證明這個數級數的有界性，從而得出這個數級數一定是收斂的，即存在乙個極限，然後取已知方程兩邊的極限假設a，即該數列滿足， 然後求解方程 A，即數列的極限值。

簡單來說，就是按照這個準則，再找兩個條件來解釋極限的存在，然後計算極限值。

下面介紹單次增加和單次減少的相同原理。

1.存在級數的單調和有界引入限制。

2.極限存在不能推單調有界數列，如（-1）n*1 n。

3.充分和不必要的條件。

有界數列的指數列中的每個專案都不超過具有上限和下限的固定區間。

假設有乙個固定值 a，任何 n 都有乙個下界 b，如果 a 和 b 都存在，使得序列的值在區間 [a，b]bai 中，則該序列是有界的。

如果序列滿足：對於所有 n，有 xn m（其中 m 是獨立於 n 的常數），並說序列是有界的（有乙個上限），並且 m 是他的上限之一。

足夠但不是必需的。

首先，證明存在乙個上限，即對於任何 n，xn 小於或等於某個常數 c。

我們證明了 xn<=2 在數學上是歸納的。

2;2.設 xk<=2，x（k+1）= （2+x（k））<= （2+2）=2;

xn<2;

然後證明 xn 是單調遞增的：

如果我們已經知道 xn<=2，那麼 xn= （2+x（n-1））>= （x（n-1）+x（n-1））） = 2*x（n-1）>=

x(n-1)*x(n-1)=x(n-1)；上述推導基於 x（n-1）<=2

因此，xn>=x（n-1），所以xn是乙個單調增加序列，上面證明了xn序列有單調增加的上限，所以極限是存在的，實際上這個級數的極限是2，計算極限可以這樣計算 設x是xn的極限，取方程xn=（2+x（n-1））兩邊的極限為x=（2+x）， 求解 x=2，我們可以知道 x=2

標題中的 an>0

取 bn=1 an，則 bn+1= [（an+1） an]= （1+1 an）= （1+bn）。

作為特徵方程 x= （1+x）， x>0，解為 x=（1+ 5） 2bn+1-(1+√5)/2|=|1+bn)-(1+√5)/2|=|1+bn-(1+√5)²/4|/|1+bn)+(1+√5)/2|=|bn-(1+√5)/2|/|1+bn)+(1+√5)/2|<|bn-(1+√5)/2|/|1+√5)/2|=(√5-1)/2*|bn-(1+√5)/2|0<|bn-(√5+1)/2|<(5-1)/2*|bn-1-(1+√5)/2|<.5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|

林（n）5-1） 2] （n-1）*|b1-(1+√5)/2|=0

lim(n→∞)0=0

誘捕定理得到lim（n）bn-（ 5+1） 2|=0∴lim(n→∞)bn=(√5+1)/2=1/an∴lim(n→∞)an=2/(√5+1)=(5-1)/2

證明：因為數字序列中有乙個上限，所以有乙個上限 a，對於任何 0 >襪子，a- 都不是上限，所以最好在 n 中逗弄，這樣 a-

1.如果證明序列是單調遞增的，並且有上限，那麼序列是有極限的。

2.如果證明序列是單調遞減的，並且有下界，那麼序列就有極限。

假設單調是有界的（你可能希望設定乙個增加），那麼有 m>=x[n]（任何 n），所以有乙個上限定邊界，表示為 l

對於任何正數 a，都有乙個自然數 n，使得 x[n]> l-a，因為 x[n] 是單遞增的，所以當 n>=n 時，l-a

這不僅是單調的、有界的，而且是乙個條件證明。

但是除了第乙個問題之外，這個問題是單調有界的，所以可以用單調有界來證明。

x1=√(2+a)《2

x（n+1）= 2+xn）《 2+2）=2 xn 的上限為 2

x2=√(2+x1)=√2+√(2+a))》2+a)=x1

x（n+1）= 2+xn）“ 2+xn-1）=xn xn 單次增加。

2x1=√(2+a)>2

x（n+1）= 2+xn）> 2+2）=2 xn 的下限為 2

x2= （2+x1）= 2+ （2+a）），1，你確定你沒有在題目中犯錯嗎，0，當 0 當 a=2 時，它總是 2。存在限制。

當 a>2 時，單調性減小，但 xn>=2單調是有界的，所以極限是存在的。

限制均為 2以下為禱告：

根據 xn+1=（2+xn），xn+1 2=2+xn，當 n 趨於無窮大時，因為愚蠢研磨的極限存在，所以 xn+1=xn

所以它變成了 x 2-x-2 = 。0、高等數學 - 使用單調有界準則來證明數列的極限存在。

設 a>0， x1 = 根數 （2+a）， xn + 1 = 根數 （2 + xm） 證明： lim n-> 無窮大 xn 存在，並找到它的值。