橢圓性質證明橢圓具有所有性質

比例公式是錯誤的，應該是af：fp=at：pp'=am':m'p（t 是直線和 x 軸的交點）。

pp'⊥m't,at⊥m't

pp'm'∽△atm'AT：PP可用'=am':m'p………1）它也由第二橢圓定義：橢圓上某一點到某一焦點的距離與該點到焦點對齊的距離之比就是偏心率。

pf:pp'=af:at=e

af：fp=at：pp'………2)

將 （1） 和 （2） 組合在一起，得到 af：fp=at：pp'=am':m'p，然後根據平分線定理的逆定理得到三角形的外角m'平分 PFT

既然問了這個問題，就應該有一定的基礎。

橢圓的光學特性是光線從乙個焦點入射，並通過橢圓邊界反射到達另乙個焦點。

證明思想：建立坐標系，設定乙個直線方程（1）越過左焦點，找到與橢圓的交點，然後找到推導點的切方程（2），找到關於（3）的對稱線性方程，並通過右焦點知道（3），並證明它。

左焦點F1在直線PT上的投影為H，F1H的延伸與F2P在Q點相交，可以證明PT將線段F1Q垂直平分，因此Qp=F1P，F1H=Hq，根據橢圓定義，PF1 PF2=2A，QP PF2=PF1 PF2=2A， 也就是說，QF2=2A，因為 Ho 是三角形 QF1F2 的中線，那麼 HO=（1 2）QF2=A，從而證明你的問題。

1.對稱性：x軸對稱，y軸對稱，原點中心對稱。

2.頂點：（ a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

3.偏心率：e=（1-b 2 a）。

4、偏心距範圍：05。偏心率越小，越接近圓，橢圓越大，橢圓越平坦。

6.焦點（當中心為原點時）:(c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

7. p 是橢圓上的乙個點，a-c pf1（或 pf2）a+c。

8. 橢圓的周長等於週期內特定正弦曲線的長度。

焦距半徑

聚焦 x 軸： |pf1|=a+ex |pf2|=A-ex（F1、F2 分別為左焦點和右焦點）。

橢圓在右焦點上方的半徑 r=a-ex。

左焦點的半徑 r=a+ex。

聚焦 y 軸： |pf1|=a+ey |pf2|=a-ey（F2，F1 分別是上焦和下焦）。

橢圓直徑：垂直於焦點x軸（或y軸）的直線與橢圓a，b的兩個交點之間的距離，即|ab|=2*b^2/a。

1 橢圓的簡單幾何屬性。

以方程式為例：

1） 範圍：從等式 |x|≤a，|y|b，所以橢圓位於乙個被直線包圍的矩形中 x= a， y= b。

2）對稱性：橢圓既是軸對稱的，又是中心對稱的，它有兩個對稱軸，乙個對稱中心，一般對於曲線f（x，y）=0，如果方程與y不變，則曲線相對於x軸對稱，如果方程與x不變，則曲線相對於y軸對稱;如果用 x 代替 x，用 y 代替 y，那麼曲線相對於原點的對稱性應該分別結合 x 軸、y 軸和點 p（x，y） 原點的對稱點的坐標來理解和記憶。

3）頂點：總共有四個，即。

它們是橢圓和坐標軸的交點，在繪製橢圓時，可以先畫出這四個頂點，然後再畫出橢圓的一般形狀。

4）偏心率：

在橢圓中，a>c>0，如果 a 不變，則為 0

不難看出，e越大，b越小，橢圓越平坦; e 越小，b 越大，橢圓越圓，因此，偏心率反映了橢圓的平坦程度。

2 橢圓的第二個定義。

橢圓也可以看作是從移動點到固定點 f 和到固定線 1 的距離之比等於常數 e（0 從對稱性來看，橢圓有兩條準線，對於橢圓。

對應於 f（c，0） 的對齊方程是。

對應於 f（c，0） 的對齊方程是。

如果橢圓方程是。

那麼兩個對齊方程是。

根據第二個定義，如果 m 是橢圓上的任意點，則直線 1 是對應於焦點 f 的對齊方式，從 m 到 1 的距離為 d，則 |mf|=ed，使用這種關係式，橢圓上某點到焦點的距離可以轉換為從它到相應對齊的距離，從而簡化操作。

3 橢圓的引數方程。

從橢圓方程。

聯想三角公式，若靈。

也就是說，這是橢圓的引數方程。

它間接反映了橢圓上乙個點 p（x，y） 的兩個坐標之間的關係。

當使用橢圓的引數方程來研究最大值問題時，不需要通過普通方程來消除元素，而是直接建立關於角度引數的單變數目標函式。

阿波羅尼烏斯的八卷本《圓錐曲線理論》（Conics）是第乙個提出與圓錐交叉有關的術語，如橢圓、拋物線和雙曲線，這些術語在今天很熟悉，可以說是古希臘幾何學的最好著作。

直到。 十。 在六世紀和十七世紀之交，克卜勒發現了行星運動的三大定律，這清楚地表明，行星圍繞太陽的軌道是乙個以太陽為焦點的橢圓。

橢圓是圓定義的擴充套件，它是平面中所有點的圖形，其到兩點的距離是固定值的總和。

這兩點稱為焦點，兩點之間的距離稱為焦距。 當兩個焦點重合時，橢圓變成乙個圓。

橢圓是乙個平面圖形，我們通常會找到一種方法來建立坐標系來表示平面形狀。 橢圓定義中未指定兩個焦點的位置和方向，因此橢圓的大小、位置和方向都可以變化。

由於橢圓是對稱圖形，同時滿足軸對稱性和中心對稱性，因此，為了簡單起見，通常選擇原點作為橢圓的對稱中心，而使用兩個坐標軸作為橢圓的對稱軸，那麼橢圓的焦點應該是坐標軸上的兩個對稱點。

橢圓性質是平面中兩個不動點 f1 和 f2 之間的距離之和，具有常數 2a 的移動點 p 的軌跡稱為橢圓，其中 2a >|f1f2|。這是教科書中的標準定義，不會詳細描述。 橢圓的任何切線都等於切線處兩個焦半徑的角度。

橢圓是乙個閉合的圓錐截面：由圓錐和平面相交的平面曲線。 橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有許多相似之處：

拋物線和雙曲線，都是開放的和無界的。 圓柱體的橫截面是橢圓形的，除非該截面平行於圓柱體的軸線。

橢圓具有良好的光學特性：從乙個焦點發出的光會聚到另乙個焦點。 這種神奇性質的證明通常用解析幾何來解釋。 這是乙個簡單的方法，只能用幾何方法來解釋。

我們先描述一下問題：我們知道橢圓的半長軸是A，焦點是F1F1和F2F2，選擇橢圓上的任意一點C（共線情況好說，這裡不妨認為C與F1F1和F2F2不共線），使C ll角平分， 並使 ll 的垂直線 M 穿過點 C，則 M 是橢圓的切線。

這有點類似於乙個高中問題：我們知道有兩個村莊F1、F2和M河，乙個幫浦站p要建在M上，在**中要求P使Pf1+Pf2Pf1+Pf2最小。 受到啟發，如下所示。

證明思想：新增輔助線 - 作為 CF1CF1 相對於 m 的對稱線段 CA。 很容易證明 a、c、f2f2 是共線的。 這與幫浦站問題非常相似：如果你把 m 上的點 p 取不是 c，那麼。

pa+pf2>ca+cf2=2a

pa+pf2>ca+cf2=2a

也就是說，pf1+pf2pf1+pf2 也應該大於 2a，即 p 點應該落在橢圓之外。 這意味著直線 m 只有乙個與橢圓的交點。 即 m 是橢圓的切線。

橢圓性質：橢圓的範圍和對稱性：（a b 0）在-a tantan x a，-b y b中，對稱中心是原點，對稱軸是坐標軸。

頂點：a（a，0）、b（-a，0）、c（0，b） 和 d（0，-b）。

軸：對稱軸：X軸、Y軸; 長軸長|ab|=2a，短軸長度 |cd|=2b，a為長半軸的長度，b為短半軸的長度。

偏心率範圍：0偏心率越小，離圓越近，橢圓越大，橢圓越平坦。

橢圓的標準方程。

橢圓有兩個標準方程，具體取決於焦點所在的軸：

1. 當焦點在 x 軸上時，標準方程為：

2. 當焦點在 y 軸上時，標準方程為：

從橢圓上任意點到 f1 和 f2 的距離之和為 2a，f1 和 f2 之間的距離為 2c。 公式中的 b = a -c。 b 是寫入端的引數集。

另外：如果中心在原點，但焦桶點的位置在x軸或y軸上不清楚，則方程可以設定為mx +ny =1（m>0，n>0，m≠n）。 也就是說，標準方程的統一形式。

橢圓的面積是 ab。 橢圓可以看作是某個方向上的圓的延伸，其引數方程為：x=acos，y=bsin

點 （x0，y0） 處橢圓的標準形式的切線為：xx0 a +yy0 b =1。 橢圓切線的斜率為：-b x0 a y0，可以用復代數計算。